Opérateur de création

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En seconde quantification, un opérateur de création est un opérateur qui agit sur l'espace de Fock en changeant un état à N particules en un état à N+1 particules.

Dans le cas des bosons, l'opérateur de création $a^\dagger_i$ qui crée une particule dans l'état $i$ est tel que:

$a^\dagger_i \mid N_1,N_2,\ldots,N_i,\ldots\rangle = \sqrt{N_i+1} \mid N_1,N_2,\ldots,N_i+1,\ldots\rangle$

D'autre part, les opérateurs de création commutent entre eux : $[a^\dagger_i,a^\dagger_j]=0$

Un état normalisé de l'espace de Fock bosonique s'écrit donc:

$\mid N_1, N_2, \ldots\rangle = \prod_k \frac{(a_k^\dagger)^{N_k}}{\sqrt{N_k !}} \mid 0 \rangle$ , où $|0\rangle$ désigne le vide.

Dans le cas des fermions, à cause du principe d'exclusion de Pauli, il n'est pas possible de créer deux fermions dans le même état, si bien que $(c^\dagger_i)^2=0$ . L'action de l'opérateur de création est donc définie par :

$c^\dagger_i \mid N_1,N_2,\ldots,0_i,\ldots\rangle = \mid N_1, N_2, \ldots 1_i, \ldots \rangle$

De plus, les opérateurs de création de fermions anticommutent : $c^\dagger_i c^\dagger_j =-c^\dagger_j c^\dagger_i$

On peut écrire les états normalisés de l'espace de Fock sous la forme :

$|N_1, N_2, \ldots \rangle = (c^\dagger_{i_1})^{N_{i_1}} (c^\dagger_{i_2})^{N_{i_2}} \ldots |0\rangle$

Mais du fait de l'anticommutation des opérateurs de création de fermions, il est nécessaire de choisir une convention particulière pour l'ordre dans lequel les opérateurs de création doivent agir.

Le conjugué hermitique d'un opérateur de création est un opérateur d'annihilation.

Dans le cas des bosons, les opérateurs de création et les opérateurs d'annihilation satisfont à des relations de commutation : $[a_i,a^\dagger_j]=\delta_{i,j}$ , qui font que l'algèbre des opérateurs de créations et d'annihilation des bosons est identique à l'algèbre des opérateurs qui engendrent le spectre de l'oscillateur harmonique quantique. Cela entraine que les phonons et les photons peuvent être traités comme des bosons.

Dans le cas des fermions, les opérateurs de création et d'annihilation satisfont à des relations d'anticommutation : $\{c^\dagger_i,c_j\}=\delta_{ij}$ .

L. D. Landau et E. M. Lifchitz Mécanique Quantique (Mir)

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Catégories : Mécanique quantique • Physique quantique

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