Formulaire de relativité restreinte

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[modifier] Les transformations de Galilée

$x = (x' + vt') \qquad y = y' \qquad z = z' \qquad t = t'$

les vitesses et acccélérations $\vec{V}$ et $\vec{V'}$ , $\vec{a}$ et $\vec{a'}$ (du mobile par rapport à chacun des référentiels, respectivement) :

$\frac{dx}{dt} = \frac{d(x' + vt')}{dt}=\frac{d(x'+vt')}{dt'} \Rightarrow V_x=V'_x +v$ $\frac{dy}{dt} =\frac{dy'}{dt'} \Rightarrow V_y=V'_y \qquad \frac{dz}{dt} =\frac{dz'}{dt'} \Rightarrow V_z=V'_z$

$\frac{dV_x}{dt} = \frac{d(V_x' + v)}{dt'} \Rightarrow a_x=a_x' \qquad \frac{dV_y}{dt} = \frac{dV_y' }{dt} \Rightarrow a_y=a_y' \qquad \frac{dV_z}{dt} = \frac{dV_z'}{dt} \Rightarrow a_z=a_z'$ ;

ce que l'on peut écrire vectoriellement :

$\vec V = \vec V'+ \vec{v} \qquad , \qquad \vec{a} = \vec{a'}.$

$\vec{F} = m \vec{a} \qquad , \qquad \vec{F'} = m \vec{a'}.$

[modifier] Les transformations de Lorentz

Dans le cadre des transformations spéciales, les hypothèses d'Einstein mènent aux transformations suivantes :

Les transformations de Lorentz

$x = \gamma (x' + vt') \qquad y = y' \qquad z = z' \qquad t = \gamma (t' + \frac{vx'}{c^2})$

où γ est un facteur scalaire sans dimension défini par

$\qquad \gamma=\gamma (v)= \frac {1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ et $\beta=\frac{v}{c}$

On a donc

$\begin{pmatrix} ct\\x\\y\\z\\\end{pmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma & +\gamma\beta& 0 & 0\\ +\gamma\beta & \gamma & 0& 0\\ 0 & 0 & 1& 0\\ 0 & 0 & 0& 1\end{bmatrix}\begin{pmatrix} ct'\\x'\\y'\\z'\\\end{pmatrix}$ Et inversement: $\begin{pmatrix} ct'\\x'\\y'\\z'\\\end{pmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma & -\gamma\beta& 0 & 0\\ -\gamma\beta & \gamma & 0& 0\\ 0 & 0 & 1& 0\\ 0 & 0 & 0& 1\end{bmatrix}\begin{pmatrix} ct\\x\\y\\z\\\end{pmatrix}$

Ces transformations forment un groupe

[modifier] La dilatation du temps

$(c t' 1,0,0,0)$ et $(c t' 2,0,0,0)$ sont les coordonnées de deux évènements qui se sont produits dans $\mathbb{R'}$ à l'origine :

$ct'_1-ct'_2=\gamma\left((ct_1-\frac{v}{c}x_1)-(ct_2-\frac{v}{c}x_2)\right) =\gamma\left(c(t_1-t_2)-\frac{v}{c}(x_1-x_2)\right) =\gamma c(t_1-t_2)(1-\frac{v^2}{c^2})$

$t 0 = t' 1 - t' 2$ l'intervalle de temps (dit temps propre) séparant les deux évènements dans $\mathbb{R'}$ et $t = t 1 - t 2$ l'intervale observée dans le référentiel $\mathbb{R}$ ,

$t=\frac{t_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

Autre démarche pour un même résultat: $(c t' 1, x', y', z')$ et $(c t' 2, x', y', z')$ sont les coordonnées de deux évènements qui se sont produits dans $\mathbb{R'}$ au même point de coordonnées x',y',z', mais à des instants différents $t' 1, t' 2$

$\begin{matrix} \\ ct_1-ct_2=\gamma\left((ct'_1+\frac{v}{c}x')-(ct'_2+\frac{v}{c}x')\right)=\gamma\left(ct'_1-ct'_2\right) \\ x_1-x_2=\gamma\left((x'+\frac{v}{c}t'_1)-(x'+\frac{v}{c}t'_2)\right)=\gamma\frac{v}{c}(ct'_1-ct'_2) \\ \end{matrix}$

Les deux évènements sont séparés dans $\mathbb{R}$ par un intervalle de temps γ fois plus grand que dans $\mathbb{R'}$ : c'est la dilatation du temps.

La deuxième ligne exprime que dans $\mathbb{R}:x_1-x_2= v(t_1 - t_2)$

[modifier] Le voyage dans le futur des autres

On considère R' le référentiel du voyageur A qui se déplace à 3/5 c ce qui donne une dilatation du temps de

$\gamma = \frac {1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac {1}{\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}}=5/4$

Si T₀ est la durée du voyage dans R', dans R le voyage aller a duré T₁ = γT₀ = 5/4 années, en parcourant vγT₀= 3/5 × 5/4 T₀ année-lumière= 3/4 T₀ a.l.

(a.l. signifie année lumière ou distance parcourue par la lumière en un an )

Pour simplifier prenons un voyage de T₀ = 1 an et pour moderniser le voyage, O et O' sont sous vidéo avec émission en continu.

Par effet Doppler, les émissions sont reçues au ralenti avec un facteur (1+v/c) = 8/5 qui combiné avec la dilatation du temps 5/4 donne

$T_r = \frac {(1+v/c)}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \times T_0= \sqrt{\frac {1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}} \times T_0=\frac {8}{5}\times \frac{5}{4}\times T_0= 2\times T_0$

Il faut donc à chacun, et la situation est symétrique pour B en O et A en O', le double de temps pour visionner en « direct » la vie de l'autre tant que ni l'un ni l'autre ne modifie son mouvement.

Supposons que A s'arrète au bout d'un an, sans revenir.

Point de vue de A : Il a reçu 6 mois de la vie de B au ralenti en un an de son trajet et recevra la suite de vie de B avec un retard de 3/4 d'an à un rythme normal. La dernière minute des six mois de la vie de B, visionnée au ralenti par A, a été émise 3/4 d'an plus tôt : A sait donc que B a vécu 5/4 d'année depuis son départ, ce qui est bien la durée T₁ du voyage de A dans le référentiel de B.

Point de vue de B : Après avoir reçu au ralenti le voyage aller de A en 2 ans, B reçoit la vie de A avec un retard de 3/4 d'an à un rythme normal. La dernière minute du voyage de A, visionnée au ralenti par B, a été émise 3/4 d'an plus tôt : B sait donc que le voyage de A a duré (dans le référentiel de B) 2 ans moins 3/4 année, soit 5/4 d'année, ce qui est bien la durée T₁ du voyage de A dans le référentiel de B.

Supposons maintenant que A en O' fasse demi tour au bout d'un an temps propre pour lui :

Point de vue de A : Il n'a alors visionné que 6 mois de la vie de B situé en O et il lui reste à recevoir ce qui est sur les 3/4 a.l qui séparent O de O', soit 3/4 ans du vécu de B en O non visionné par A situé en O', auquel il faudra ajouter la durée de vie de B pendant le voyage retour de A, soit T₁ = 5/4 ans de la vie de B. A recevra donc en accéléré, en un an de son voyage retour, 2 ans de vie de B en O, ce qui est bien conforme à une réception en accéléré due au fait que le voyage retour rapproche A et O. En effet :

$T_r = \frac {(1-v/c)}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \times T_0= \sqrt{\frac {1-\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}} \times T_0=\frac {2}{5}\times \frac{5}{4}\times T_0= 1/2\times T_0$

A a donc voyagé pendant 2 ans et se retrouve avec B en O qui a vécu 6 mois + 2 ans = 2 ans et demi = 2T₁.

C'est l'effet dilatation du temps.

Noter que A a fait demi tour dans un espace contenant des ondes qui se propagent vers B en O.

Point de vue de B : En O, il reçoit pendant 2 ans le voyage aller de A en O' et lorsque A fait demi-tour, il ne le sait pas encore. Lorsqu'il reçoit l'information que A en O' a fait demi tour il y a déjà 3/4 d'an que A voyage sur le retour et A sera dans 6 mois en O : B en O reçoit ce retour d'un an de la vie de A en accéléré en ces 6 mois. B aura mis 2 ans et 6 mois pour recevoir les « 2ans » de voyage de A.

$\frac {(1-v/c)}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+ \frac {(1+v/c)}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}= \sqrt{\frac {1-\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}}+\sqrt{\frac {1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}}= \frac {2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

Pour bien percevoir l'effet relativiste, il faut voir ce que donnerait le formalisme classique.

En ce qui concerne les messages émis de B vers A, A les perçoit à l'aller en ralenti avec le facteur $(1 - v / c)$ , et au retour en accéléré avec le facteur $(1 + v / c)$ , sans le facteur spécifiquement relativiste de dilatation du temps $\frac {1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ . La longueur du trajet de A est 3cT₀/5, soit 3/5 a.l. (nous gardons les mêmes unités même si elles ne sont plus vraisemblables pour faciliter la comparaison).

En ce qui concerne les messages émis de A vers B, B les perçoit à l'aller de A en ralenti avec le facteur ${1 \over (1-v/c)}$ , et au retour de A en accéléré avec le facteur ${1 \over (1+v/c)}$ .

Point de vue de A : Pendant le voyage aller d'un an pour B, A reçoit au ralenti la vie de B avec un facteur 1 - 3/5, soit 2/5 de la vie de B. Au retour, A reçoit en accéléré la vie de B avec un facteur 1 + 3/5, soit 8/5 de la vie de B. Au cours de ses deux ans de voyage, A a visionné 2/5 + 8/5 = 2 années de la vie de B.

Point de vue de B : B reçoit au ralenti une année de voyage de A, avec un facteur 1/(1 + 3/5)) = 5/8. A cet instant, A fait demi-tour, mais B ne le sait pas encore. Il le saura lorsque le signal émis par A lui parviendra, c’est-à-dire dans 3/5 d'année. B verra donc s'écouler 1 + 3/5 = 8/5 d'années pour visionner la totalité du voyage de A avant de le voir faire demi-tour. Ces 8/5 d'années correspondent bien à un an de la vie de A visionnée au ralenti avec un facteur 5/8. Lorsque B voit A faire demi-tour, A est déjà sur le chemin du retour depuis 3/5 d'année. Il lui reste donc 2/5 d'année à voyager. B, quant à lui, visionnera en accéléré la totalité du voyage retour avec un facteur 1/(1 - 3/5)) = 5/2. Ce visionnage du retour durera donc également 2/5 d'année, et B aura visionné 8/5 + 2/5 = 2 années de voyage de A.

L'aller et le retour de A ont duré chacun 1 an, A a vécu 2 ans. Et B a vécu 2 ans pour visionner les 2 ans du voyage de A : classique quoi ! Le temps est le même pour A et B : universel.