Sylvesterin–Gallain lause
Wikipedia
Sylvesterin–Gallain lause on kuuluisa geometrian ongelma, joka kuuluu seuraavasti:
Olkoon tasossa annettu n pistettä siten, että jos suora kulkee kahden annetun pisteen kautta, on tällä suoralla olemassa kolmas annettu piste. Tällöin kaikki pisteet sijaitsevat samalla suoralla.
Lauseen otaksui James Joseph Sylvester vuonna 1893 ja todisti Tibor Gallai vuonna 1944. Lauseesta on olemassa yleisempikin versio nimeltä Beckin lause. Sylvesterin–Gallain lause ei ole voimassa jos pisteitä on äärettömän monta. Eräs vastaesimerkki saadaan lattiisista 
.
Sylvesterin–Gallain lauseen todistus: Oletetaan vastoin väitettä, että kaikki pisteet eivät ole samalla suoralla. Tarkastellaan niiden suorien joukkoa, jotka kulkevat ainakin kahden annetun pisteen kautta. Näiden joukossa on suora l ja piste A siten, että etäisyys ||A-l|| on positiivinen, mutta pienin mahdollinen annettujen pisteiden joukossa. Oletetaan, että suoralla l on enemmän kuin kaksi pistettä. Tällöin ainakin kaksi l:n pistettä, olkoot ne B ja C, ovat samalla puolella pisteen A ja p kautta kulkevaa suoraa, missä p on A:n projektio l:llä. Tällöin joko ||AB-C||<||A-l|| tai ||AC-B||<||A-l||, mikä on ristiriita A:n ja l:n minimaalisen etäisyyden kanssa.
