Filtro (matemática)
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En matemática, un filtro es un subconjunto especial de un conjunto parcialmente ordenado. Un caso especial que se usa con frecuencia es en la situación en que el conjunto ordenado que se considera es precisamente el conjunto potencia de un conjunto S, esto es, el conjunto 2^S de los subconjuntos de S, ordenado mediante la inclusión. Los filtros se usan en Teoría del orden y en reticulados, y también en Topología. La noción de dual de un filtro es la de ideal.
[editar] Definición general
Un subconjunto no vacío F de un conjunto parcialmente ordenado (P,≤) es un filtro si se dan las siguientes condiciones:
- Para cada x en F, x ≤ y implica que y también está en F. ('F es un conjunto "upper"', "hacia arriba")
- Para cada x, y en F, existe cierto elemento z en F, tal que z ≤ x y z ≤ y. (F es un conjunto filtrado)
Un filtro se dice propio si no es igual a todo el conjunto P completo.
Mientras que la definición de arriba es la manera más general para definir un filtro sobre "posets" arbitrarios, originalmente se definió sólo para los reticulados, en cuyo caso, la definición de arriba puede caracterizarse por la siguiente proposición equivalente:
Un subconjunto no vacío F de un reticulado (P,≤) es un filtro, sii es un conjunto "upper" que es cerrado bajo finitas "meets": 
(ínfimo), esto es, para todo x e y en F, se tiene que 
está también en F.
El filtro más pequeño que contenga cierto elemento dado p es un filtro principal y p es un elemento principal en esta situación. El filtro principal para p viene dado por el conjunto {x en P | p ≤ x} y se denota poniendo delante de la p una flecha hacia arriba.
La noción dual de la de filtro, esto es, el concepto que se obtiene "dando la vuelta" a todas las " ≤ " y cambiando por 
, es el de ideal. Debido a esta dualidad la discusión sobre los filtros repite la de los ideales. De ahí que la mayor parte de la información adicional sobre ellos (incluyendo la de filtros maximales y filtros primos) se encuentra en el artículo sobre ideales. Existe también un artículo separado sobre ultrafiltros.
[editar] Filtros de conjuntos
Un caso importante de filtros en teoría del orden son los filtros de conjuntos, que se obtienen tomando el conjunto potencia de un conjunto dado S, visto como orden parcial y ordenado por la inclusión de subconjuntos. Con ello tendremos que un filtro F sobre un conjunto S es un conjunto de subconjuntos de S con las siguientes propiedades:
- S está en F. (F es no vacío)
- F no contiene al conjunto vacío. (F es propio)
- Si A y B están en F, también su intersección. ("F es cerrado bajo intersecciones finitas ")
- Si A está en F y A es un subconjunto de B, entonces B está en F, para todos los subconjuntos B de S. (" F es cerrado bajo supercontenencias ")
Traducción de la Wikipedia inglesa incompleto (queda poco).
