Factorización LU
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En el álgebra lineal, la descomposición LU es una forma de factorización de una matriz singular como el producto de una matriz triangular inferior y una superior. A veces se debe premultiplicar la matriz a descomponer por una matriz de permutación. Esta descomposición se usa en el análisis numérico para resolver sistemas de ecuaciones (más eficientemente) o encontrar las matrices inversas
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[editar] Definiciones
Sea A una matriz singular (si no lo fuera, entonces la descomposición podría o no podría ser única)
donde L y U son matrices inferiores y superiores triangulares.
Para matrices , esto es:
La descomposición PLU tiene esta forma: o también: PA = LU (recordando que las matrices de permutación son invertibles y su inversa es ella misma)
Donde L y U son , de nuevo, dos matrices triangulares inferior y superior respectivamente y P es una matríz de permutación.
[editar] Unicidad
Las matrices L y U son únicas, si la matriz es singular. En caso contrario pueden o no ser únicas.
Demostración:
Dada la matríz A ∈ Rmxn
A = L1U1 y A = L2U2
Recordemos que L1,U1,L2,U2 son invertibles por tener el determinante distinto de cero entonces:
L1U1 = L2U2
Entonces es una matríz triangular inferior, con unos en la diagonal y es triangular superior, con unos en la diagonal (recordando que el producto matricial de triangulares superiores/inferiores es triangular superior/inferior). La única matríz que cumple estas dos propiedades es la identidad. Por lo tanto:
y
Con lo cual:
L1 = L2 y U1 = U2
[editar] Algoritmos
La factorización LU es básicamente una forma modificada de la eliminación gaussiana. Transformamos la matriz A en una triangular superior U anulando los elementos debajo de la diagonal.
E1 * E2 * ... * En * A = U
Donde E1,E2,...,En son matrices elementales, que representan los distintos pasos de la eliminación. Luego recordando que la inversa de una matríz elemental, es otra matríz elemental:
Llamamos L a una matríz triangular inferior.
[editar] Aplicaciones
[editar] Resolviendo sistemas de álgebra lineal
Dada la ecuación matricial
- Ax = LUx = b
Queremos la solución para un determinando A y b. Los pasos son los siguientes:
- Primero, resolvemos Ly = b para y
- Segundo, resolvemos Ux = y para x.
Nótese que ya tenemos las matrices L y U. La ventaja de este método es que es computacionalmente eficiente, porque podemos elegir el vector b que nos parezca y no tenemos que volver a hacer la eliminación de Gauss cada vez.
[editar] Matriz Inversa
Las matrices L y U pueden ser usadas para calcular la matríz inversa. Algunas implementaciones que invierten matrices usan este método.