Zinsrechnung

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Die Zinsrechnung beschreibt ein mathematisches Verfahren zur Berechnung von Zinsen, die als Entgelt auf geliehene Geldbeträge erhoben werden.

Grundsätzlich unterteilt sich die Zinsrechnung in die „Einfache Zinsrechnung“, bei der anfallende und nicht ausgezahlte Zinsen und der zu verzinsende Geldbetrag, z.B. Kredit, Darlehen oder Spareinlage, nicht aufaddiert werden und die Zinseszinsrechnung, die nicht ausgezahlte Zinsen zum Grundbetrag aufaddiert.

Die Einfache Zinsrechnung spielt nur bei privaten Geldgeschäften ohne Beteiligung von Finanzunternehmen eine Rolle, da nach §§248, 289 BGB in diesem Fall Zinseszinsen untersagt sind. Finanzunternehmen wie Banken verzinsen mit Zinseszinsen, so dass die Zinseszinsrechung von größerer Bedeutung ist.

Des Weiteren kann man nach der Anzahl der Zinsperioden (Verzinsungen) im Jahr zwischen jährlicher (einmalige Verzinsung) und unterjähriger Verzinsung (mehrmalige Verzinsung), sowie dem Sonderfall stetiger Verzinsung unterscheiden. Standardfall ist die jährliche Verzinsung: das Kapital wird einmal jährlich, üblicherweise am Jahresende, verzinst.

Wird innerhalb der Zinsperiode auf ein Sparkonto eingezahlt oder davon abgehoben, so wird von Finanzunternehmen im Allgemeinen die gemischte Verzinsung herangezogen. Diese Art der Verzinsung kommt deshalb auch bei allen Anlagen mit einer Laufzeit, die nicht einem Vielfachen der Zinsperiode entspricht (zum Beispiel 3,5 Jahre bei jährlicher Verzinsung), zur Anwendung. Man spricht hierbei von gebrochener Laufzeit.

Während die Zinsrechnung im Allgemeinen von einem einmalig eingezahlten, beziehungsweise geliehenen Betrag ausgeht (Anfangskapital), beschäftigt sich das Teilgebiet der Rentenrechnung mit regelmäßigen Einzahlungen und Auszahlungen. Für Berechnungen über die Tilgung von Krediten existiert die Tilgungsrechnung.

Inhaltsverzeichnis

1 Vorbemerkungen
2 Jährliche Verzinsung
- 2.1 Einfache Zinsen (lineare Verzinsung)
  - 2.1.1 Beispiel
- 2.2 Zinseszinsen (exponentielle Verzinsung)
  - 2.2.1 Beispiele
3 Unterjährige Verzinsung
- 3.1 Einfache Zinsen
  - 3.1.1 Beispiel
- 3.2 Zinseszinsen
  - 3.2.1 Beispiel
4 Gemischte Verzinsung
- 4.1 Beispiel
5 Stetige Verzinsung
6 Siehe auch
7 Weblinks

[Bearbeiten] Vorbemerkungen

Die im Folgenden aufgeführten Formeln für die Zinsrechnung verwenden Symbole wie folgt:

Anfangskapital: K₀(Kapital nach 0 Jahren)
Endkapital: K_n (Kapital nach n Jahren)

Laufzeit(ganze Jahre): n Eingabe in Jahren
Laufzeit(Tage): t Eingabe in Tagen

Zinssatz: p (pro Zinsperiode)

z. B. Jahr zu 360 Tagen n·(360/360)
Jahr zu 365 Tagen n·(365/365)
Monat n·(30/360) oder n·(1/12)

z. B. 7% Zinsatz für die Laufzeit von einem Jahr oder 360 Tagen (bzw. 361 Tagen)

Zinssatz als Dezimalangabe: $i = \frac{p}{(100)}$ (pro Zinsperiode)
Zinssatz als Zinsfaktor: $q = 1 + \frac{p}{(100)}$ (pro Zinsperiode)

[Bearbeiten] Jährliche Verzinsung

[Bearbeiten] Einfache Zinsen (lineare Verzinsung)

Bei jährlicher Verzinsung gilt für das Endkapital

$K_n = K_0 \cdot (1 + n \cdot i)$

Durch Umformung erhält man Formeln zur Berechnung des für ein bestimmtes Endkapital nötigen Startkapitals, Zinssatzes oder der Laufzeit:

$i = \frac{1}{n} \cdot \left( \frac{K_n}{K_0} - 1 \right)$
$n = \frac{1}{i} \cdot \left( \frac{K_n}{K_0} - 1 \right)$

[Bearbeiten] Beispiel

Ein Startkapital von 1.000 € wird zu einem Zinssatz von 5% über 2 Jahre angelegt. Bei einfacher Verzinsung ergäbe sich ein Endkapital von

$K_2 = 1000 \cdot (1 + 2 \cdot 0{,}05) = 1100$ [Euro]

"Skonto-Rechnung" (Rechnungsbetrag R, Lieferant gewährt Skonto S, Überweisungsbetrag U):

$U = \frac{R * 100}{100+S}$

[Bearbeiten] Zinseszinsen (exponentielle Verzinsung)

Die Formel für das Kapital nach n Jahren bei jährlicher Verzinsung und Zinseszinsen lautet:

$K_n = K_0 \cdot (1 + i)^n = K_0 \cdot q^n$

Die Formel lässt sich umstellen, um bei gegebenem Endkapital das Startkapital, den Zinssatz oder die Laufzeit zu bestimmen:

$K_0 = \frac{K_n}{(1 + i)^n}= \frac{K_n}{q^n}$

$i = \sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}} - 1$
$n = \frac{\log{\frac{K_n}{K_0}}}{\log{(1 + i)}} = \frac{\log{K_n}-\log{K_0}}{\log{q}}$

[Bearbeiten] Beispiele

Ein Startkapital von 1.000 € wird zu einem Zinssatz von 5% über 2 Jahre angelegt. Mit Zinseszinsen ergibt sich ein Endkapital von

$K_2 = 1000 \cdot (1 + 0{,}05)^2 = 1102{,}50$ Euro.

Wird die Laufzeit gesucht, nach der sich das Startkapital verdoppelt hat, so gilt allgemein:

$n = \frac{\log{2}}{\log{(1 + i)}}$

[Bearbeiten] Unterjährige Verzinsung

Bei unterjährig verzinslichen Anlagen erfolgt die Zinsgutschrift mehrmals im Jahr. Der Zeitraum der Verzinsung ist also kleiner als ein Jahr, üblich sind beispielsweise Zeiträume von einem halben Jahr, einem Quartal oder einem Monat. Die Anzahl der Zinsperioden im Jahr wird in Formeln durch das Symbol m ausgedrückt. Bei quartalsweiser Verzinsung wäre m zum Beispiel 4 (4 Quartale pro Jahr).

Oftmals wird ein sogenannter nomineller Jahreszinssatz (i_nom) angegeben. Der relative Periodenzinssatz i_rel beträgt dann

$i_{\mathrm{rel}} = \frac{i_{\mathrm{nom}}}{m}$ .

Die Formeln der unterjährigen Verzinsung sind dann wie oben beschrieben zu verwenden, der Zinssatz gilt lediglich nicht mehr pro Jahr, sondern pro Zinsperiode. Die Laufzeit wird ebenfalls nicht in Jahren, sondern in Zinsperioden angegeben.

[Bearbeiten] Einfache Zinsen

Für das Endkapital K_t,k nach t Jahren und k Perioden (k < m) gilt:

$K_{\mathrm{t,k}} = K_0 \cdot (1 + [t \cdot m + k]\cdot i_{\mathrm{rel}})$ .

Dabei stellt $t \cdot m + k$ die Gesamtzahl von Zinsperioden nach t Jahren und k Perioden dar (Laufzeit, angegeben in Zinsperioden).

[Bearbeiten] Beispiel

Ein Kapital von 1.000 € wird bei monatlicher Verzinsung (m = 12) zu einem nominellen Jahreszinssatz von 6% angelegt.

Der relative Periodenzinssatz beträgt 0,5%. Nach 2 Jahren und 4 Monaten ergibt sich mit einfachen Zinsen ein Endkapital von

$K_{\mathrm{2,4}} = 1000 \cdot (1 + [2 \cdot 12 + 4]\cdot 0{,}005) = 1000 \cdot 1{,}14 = 1140$ [Euro]

[Bearbeiten] Zinseszinsen

Für das Endkapital K_t,k nach t Jahren und k Perioden (k < m) gilt:

$K_{\mathrm{t,k}} = K_0 \cdot (1 + i_{\mathrm{rel}})^{[t \cdot m + k]}$ .

Die Laufzeit berechnet sich also analog zur Einfachen Zinsrechnung mit $n = t \cdot m + k$ .

Zusätzlich zum relativen und nominellen Zinssatz lässt sich beim Zinseszinsfall der effektive Zinssatz i_eff bestimmen. Eine jährliche Verzinsung zum Effektivzinssatz führt dabei zum gleichen Ergebnis wie eine unterjährige Verzinsung zum relativen Zinssatz. Es gilt:

$i_{\mathrm{eff}} = \left( 1 + \frac{i_{\mathrm{nom}}}{m} \right)^m - 1$ .

Ist lediglich der Effektivzins gegeben, so ergibt sich der relative Periodenzinssatz (in diesem Fall auch konformer Zinssatz i_kon genannt) aus folgender Formel:

$i_{\mathrm{rel}} = i_{\mathrm{kon}} = \sqrt[m]{1 + i_{\mathrm{eff}}} - 1$ .

Manche Lehrbücher (z.B.: Fischer: Finanzwirtschaft für Anfänger, Oldenbourg) definieren den konformen Jahreszinssatz als ganzjährigen Zinssatz bei unterjähriger Zinseszinsrechnung.

[Bearbeiten] Beispiel

Ein Kapital von 1.000 € wird wie oben angelegt (m = 12; i_nom = 6%, i_nom / 12 = 0,005).

Nach 2 Jahren und 4 Monaten beträgt das Kapital mit Zinseszinsen

$K_{\mathrm{2,4}} = 1000 \cdot (1 + 0{,}005)^{[2 \cdot 12 + 4]} \approx 1149{,}87$ [Euro]

Der effektive Zinsfuß ist ungefähr 6,1678%:

$i_{\mathrm{eff}} = \left( 1 + \frac{0{,}06}{12} \right)^{12} - 1 \approx 0{,}061678$

Mit dem effektiven Zinsfuß gerechnet

$K_{\mathrm{2,4}} = 1000 \cdot (1 + 0{,}061678)^{[28 / 12]} \approx 1149{,}87$ [Euro]

[Bearbeiten] Gemischte Verzinsung

Üblicherweise schreiben Banken und andere Finanzunternehmen auf laufenden Konten und Sparbüchern die Zinsen am Ende der Zinsperiode gut. Bei Sparbüchern und anderen laufenden Konten ist dies meist das Ende des Jahres, bei vertraglich festgelegten Anlagen oft ein anderer Zeitpunkt.

Obwohl eigentlich nach Zinseszinsrechnung verfahren wird, wird Kapital, das nicht am letzten Zinsverrechnungszeitpunkt und damit auch nicht die gesamte Zinsperiode über angelegt war, mit einfachen Zinsen verzinst, ebenso wie an einem Auszahlungstag innerhalb der Zinsperiode die bis dahin im Jahr angefallenen.

Die folgende Grafik stellt eine übliche Anlage dar: die Anlage fällt auf einen beliebigen Tag des Jahres, das Kapital wird einige Jahre verzinst und schließlich an einem beliebigen Tag innerhalb des Jahres wieder ausgezahlt.

Der gesamte Anlagezeitraum setzt sich wie folgt zusammen.

n = Restzeitraum 1 + n Jahre + Restzeitraum 2.

Zunächst wird das Kapital über den Restzeitraum 1 (t₁ Tage) mit einfachen Zinsen verzinst. Das so erhaltene Kapital verzinst sich über die n Jahre nach der Zinseszins-Formel. Der Restzeitraum 2 (t₂ Tage) wird dann wieder vom Kapital am Ende des n-ten Jahres einfach verzinst. Zusammengefasst ergibt sich folgende Formel für das Kapital am Auszahlungstag:

$K = K_0 \cdot \left( 1 + i \cdot \frac{t_1}{360} \right) \cdot (1+i)^n \cdot \left( 1 + i \cdot \frac{t_2}{360} \right)$

Nach der Deutschen Zinsberechnungsmethode werden für das Jahr 360 Tage angesetzt (siehe den entsprechenden Abschnitt im Artikel Zinssatz).

Bei gebrochenen Anlagelaufzeiten ist die Wertstellungspraxis der Banken zu beachten: der Anlagetag wird mitgerechnet, der Tag der Auszahlung wird aber nicht mehr verzinst.

Bei unterjähriger Verzinsung geht man analog vor und verändert entsprecht den Bezugszeitraum (z.B. n in Quartalen, 90 statt 360 im Nenner).

[Bearbeiten] Beispiel

Am 25. Juni 2005 werden 1.000 € zu einem Zinssatz von 2,5% auf einem Sparbuch angelegt. Wie hoch ist der Auszahlungsbetrag bei Auflösung des Sparbuches am 12. April 2010?

Bis zum Ende des Jahres 2005 vergehen nach Deutscher Zinsberechnungsmethode $t_1 = 6 \cdot 30 + 6 = 186$ Tage. Das Kapital liegt die gesamten Jahre 2006-2009 fest (n = 4). Im Jahr 2010 werden noch für $t_2 = 3 \cdot 30 + 11 = 101$ Tage Zinsen gezahlt.

Das Kapital am Auszahlungstag beträgt also

$K = 1000 \cdot \left( 1 + 0{,}025 \cdot \frac{186}{360} \right) \cdot (1+0{,}025)^4 \cdot \left( 1 + 0{,}025 \cdot \frac{101}{360} \right) = 1125{,}91$ [Euro]

Die Berechnung einfacher Zinsen begünstigt den Anleger: falls Zinseszinsen über die gesamte Laufzeit berechnet würden, erhielte man im vorliegenden Fall

$K = 1000 \cdot 1{,}025^{4+\frac{287}{360}} \approx 1125{,}76$ [Euro].

[Bearbeiten] Stetige Verzinsung

Die stetige Verzinsung ist ein Sonderfall der unterjährigen Verzinsung mit Zinseszinsen, bei der die Anzahl der Zinsperioden gegen unendlich strebt (auch Momentanverzinsung oder kontinuierliche Verzinsung). Der Zeitraum der einzelnen Zinsperiode geht also gegen 0.

Für das Endkapital nach n Jahren gilt bei einem Zinssatz i:

$\begin{matrix} K &=& \lim_{m \to \infty} \left[ K_0 \cdot \left( 1 + \frac{i}{m} \right)^{mn}) \right] \\\\ &=& K_0 \cdot e^{n\cdot i} \end{matrix}..$