Verschiebungssatz (Statistik)

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Der Verschiebungssatz (auch Satz von Steiner) ist eine Rechenregel für die Ermittlung der Summe quadratischer Abweichungen.

Kurz gefasst besagt er: $\sum_{i=1}^n \left(x_i - \bar{x}\right)^2 = \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right) - n \bar{x}^2$

Inhaltsverzeichnis

1 Erläuterung am Fall einer endlichen Folge von Zahlen: Das Stichprobenmittel
- 1.1 Beispiel
2 Anwendungen
- 2.1 Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  - 2.1.1 Varianz
  - 2.1.2 Kovarianz
- 2.2 Stichprobenkovarianz

[Bearbeiten] Erläuterung am Fall einer endlichen Folge von Zahlen: Das Stichprobenmittel

Der Verschiebungssatz wird zunächst am einfachsten Fall vorgeführt: Es ist eine Folge von reellen Zahlen x_i gegeben, beispielsweise eine Stichprobe. Es wird die Summe Q der quadratischen Abweichungen der Einzelwerte x_i vom Durchschnitt, dem arithmetischen Mittel dieser Werte, gebildet:

$Q = \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \ ,$

wobei

$\bar x = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$

das arithmetische Mittel der Zahlen ist.

Soll beispielsweise Q von Hand berechnet werden, erweist es sich als sehr umständlich, bei jedem Wert x_i zunächst eine Differenz zu bilden und diese dann zu quadrieren. Hier kann man zur Vereinfachung der Berechnung den Verschiebungssatz anwenden. Es gilt nämlich, dass auch

$Q = \sum_{i=1}^n (x_i^2 - 2 x_i \bar{x} + \bar{x}^2) = \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right) - 2 \bar{x} \left( \sum_{i=1}^n x_i \right) + n \bar{x}^2 = \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right) - 2 \bar{x} * n \bar{x} + n \bar{x}^2 = \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right) - n \bar{x}^2$

ist.

[Bearbeiten] Beispiel

Im Rahmen der Qualitätssicherung wurden 5 Kaffeepäckchen gewogen. Man erhielt die Werte (in g) x_i

505,500,495,505,510

Das durchschnittliche Gewicht beträgt

$\bar x = \frac{505 + 500 + 495 + 505 + 510}{5} \,\mbox{g} = 503 \,\mbox{g}$

Es ist

Q = (505 - 503) 2 + (500 - 503) 2 + (495 - 503) 2 + (505 - 503) 2 + (510 - 503) 2

$\quad = 4+9+64+4+49=130 \,\mbox{g}^2 \, .$

Mit dem Verschiebungssatz erhält man

$Q = 505^2+500^2+495^2+505^2+510^2 - 5 \cdot 503^2$

$\quad = 255025+250000+245025+255025+260100+1265175 - 5 \cdot 503^2$

$\quad = 1265175 - 1265045 = 130 \, \mbox{g}^2$

Man kann damit beispielsweise die Varianz der Stichprobe bestimmen:

$s^2 = \frac {1}{n-1}Q \ ,$

im Beispiel

$s^2 = \frac {1}{5-1}130 \, \mbox{g}^2 = 32,5\, \mbox{g}^2 \ .$

[Bearbeiten] Anwendungen

[Bearbeiten] Wahrscheinlichkeitsverteilungen

[Bearbeiten] Varianz

Die Varianz als Erwartungswert

$\operatorname{E}(X-\operatorname{E}X)^2$

lässt sich mit dem Verschiebungssatz auch angeben als

$\operatorname{E}X^2 - (\operatorname{E}X)^2 \ .$

Man erhält bei einer diskreten Zufallsvariablen X mit den Ausprägungen X_j (j = 1, ..., m) und der dazugehörigen Wahrscheinlichkeit f(x_j) dann für

$\mbox{var}\,X = \operatorname{E}(X-\operatorname{E}X)^2 = \sum_j (x_j - \operatorname{E}X)^2 \, f(x_j)$

entsprechend zu oben

$\sum_j X_j^2 \, f(x_j) - (\operatorname{E}X)^2 \ .$

Für eine stetige Zufallsvariable X mit den Ausprägungen Ω = {x| x ∈ R} und der dazugehörigen Dichtefunktion f(x) ist

$\mbox{var}\,X = \operatorname{E}(X-\operatorname{E}X)^2 = \int_x (x - \operatorname{E}X)^2 \, f(x)\,dx \ .$

Man erhält hier mit dem Verschiebungssatz

$\mbox{var}\,X = \operatorname{E}(X-\operatorname{E}X)^2 = \int_x x^2 f(x)\,dx - (\operatorname{E}X)^2 \ .$

[Bearbeiten] Kovarianz

Die Kovarianz zweier Zufallsvariablen X und Y lässt sich als E((X-EX)(Y-EY)) angeben.

Für diskreten Zufallsvariablen erhält man für

$\operatorname{cov}(X,Y) = \sum_j\sum_k (x_j - \operatorname{E}X)(y_k - \operatorname{E}Y) \, f(x_j; y_k)$

entsprechend zu oben

$\sum_j\sum_k x_j \, y_k \, f(x_j; y_k) - \operatorname{E}X \, \operatorname{E}Y \ ,$

mit f(x_j; y_k) als gemeinsamer Wahrscheinlichkeit, dass X = x_j und Y = y_k ist.

Bei stetigen Zufallsvariablen ergibt sich mit f(x;y) als gemeinsamer Dichtefunktion von X und Y an der Stelle x und y für die Kovarianz

$\operatorname{cov}(X,Y) = \int_x \int_y (x - \operatorname{E}X)(y - \operatorname{E}Y) \, f(x; y) \, dy \, dx$

entsprechend zu oben

$\int_x \int_y x y \, f(x; y) - \operatorname{E}X \, \operatorname{E}Y \, dy \, dx$

[Bearbeiten] Stichprobenkovarianz

Für die Stichproben-Kovarianz zweier Merkmale x und y benötigt man

$Q = \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) \ .$

Hier ergibt der Verschiebungssatz

$Q = \sum_{i=1}^n (x_i y_i) - n \bar{x} \bar{y} \ .$

Die Stichproben-Kovarianz berechnet sich dann als

$\mbox{cov}_{xy} = \frac {1}{n-1}Q \ .$

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Kategorien: Statistik | Satz (Mathematik)

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