Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer
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Die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer ist eines der wichtigsten ungelösten Probleme der modernen Mathematik. Sie sagt etwas aus über den Rang elliptischer Kurven (das sind solche, die durch Gleichungen dritten Grades dargestellt werden). Auf diesen Kurven kann man beliebige Punkte wählen und miteinander addieren, sodass das Ergebnis wiederum ein Punkt der Kurve ist. Wenn man das mit einem Ausgangspunkt P0 macht, erhält man eine Folge von Punkten:
- P1 = P0 + P0
- P2 = P0 + P0 + P0
- P3 = P0 + P0 + P0 + P0
und so weiter.
Nun können zwei Fälle eintreten:
- Man bewegt sich in einem Kreis, d.h. irgendein Pn ist wieder identisch dem Anfangspunkt
- Man kommt immer fort zu immer neuen Punkten, die alle auf der Kurve liegen.
Im zweiten Fall stellt sich die Frage, wieviele Startpunkte P0 notwendig sind, um letztendlich die elliptische Kurve in ihrer Gesamtheit mit Punkten abgedeckt zu haben. Die Anzahl dieser Startpunkte wird als "Rang" der Kurve bezeichnet.
Bei ihrer Vermutung geben Bryan Birch und Peter Swinnerton-Dyer ein Verfahren an, wie man aus der Gleichung der elliptischen Kurve deren Rang bestimmen kann. Dieses Verfahren wartet aber noch auf eine mathematische Beweisführung.
Der Beweis der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer wurde vom Clay Mathematics Institute in ihre Liste der Millennium-Probleme aufgenommen.
