Vektorpotenzial

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Das Vektorpotenzial $\vec{A}$ wird i.A. als mathematisches Hilfsmittel eingeführt, um den Umgang mit der magnetischen Induktion $\vec{B}$ zu vereinfachen. Es gilt die Beziehung:

$\vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A}$

In der Elektrodynamik (d.h. die elektrischen und magnetischen Felder sind im Unterschied zur Elektrostatik sowohl räumlich als auch zeitlich veränderlich) gilt die obige Formel unverändert. Jedoch gilt dann für das elektrische Feld $\vec{E}$ :

$\vec{E} = -\vec{\nabla}\varphi - \partial_t \vec{A}$

Dabei stellt $\varphi$ das skalare Potenzial dar.

Diese beiden Ansätze, zusammen mit der Lorenz-Eichung, werden benutzt, um die Maxwellgleichungen zu entkoppeln. In der Magnetostatik wird für gewöhnlich die Coulomb-Eichung benutzt, die den statischen Grenzfall der Lorenzeichung darstellt.

[Bearbeiten] Eigenschaften des Vektorpotenzials

(1) Das Vektorpotenzial ist nicht eindeutig bestimmt. Man sagt, das Vektorpotenzial ist bestimmt bis auf ein Gradientenfeld, d.h. für jede skalare Funktion $χ$ gilt:

$\vec{A}' = \vec{A}+\vec{\nabla} \chi \;\;\Rightarrow\;\; \vec{B}'= \vec{\nabla} \times \vec{A}'=\vec{\nabla} \times\vec{A}+\vec{\nabla} \times\vec{\nabla}\chi=\vec{\nabla} \times\vec{A}=\vec{B}$

Verschieden geeichte Vektorpotenziale können auf dasselbe magnetische Feld führen, man sagt das magnetische Feld ist eichinvariant. Dabei ist zu beachten, dass wie hier verwendet, die Rotation eines Gradientenfeldes immer verschwindet.

(2) Das Vektorpotenzial ist nicht konservativ. Andernfalls wäre es durch den Gradienten eines skalaren Feldes $α$ darstellbar und es würde gelten:

$\vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A} = \vec{\nabla} \times \vec\nabla\alpha = 0$

(3) In der Magnetostatik kann das Vektorpotenzial quellfrei gemacht werden (Coulomb-Eichung), d.h. es gilt:

$\vec\nabla\cdot\vec{A} = 0$

(4) Für die berechnung von elektromagnetischen Wellen nützlich ist auch die Lorenz-Eichung, d.h. es gilt:

$\vec{\nabla} \cdot \vec{A} + \frac{1}{\ c^2}\partial_t\varphi = 0$

(5) In der Magnetostatik erfüllt das Vektorpotenzial die Poisson-Gleichung:

$\vec{\nabla}^2 \vec{A} = -\frac{1}{\varepsilon_0 c^2}\vec{j}$

(6) In der Elektrodynamik erweitert sich die Poisson-Gleichung zur (inhomogenen) Wellengleichung für das Vektorpotenzial:

$\vec{\nabla}^2 \vec{A}-\frac{1}{c^2}\partial_t^2\vec{A} = -\frac{1}{\varepsilon_0 c^2}\vec{j}$

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Kategorien: Physik | Elektrodynamik

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