Unipolarinduktion

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Unipolarinduktion ist eine Form der elektromagnetischen Induktion. Sie tritt bei leitfähigen rotationssymmetrischen Körpern auf, wenn diese um ihre Achse rotieren und das Magnetfeld ebenfalls rotationssymmetrisch ist; beispielsweise bei einer Scheibe, die in einem zur Achse parallelen Magnetfeld rotiert. Unipolarinduktion erzeugt immer eine Gleichspannung, typischerweise mit geringer Spannung; es sind aber hohe Stromstärken möglich. Ihre Anwendung findet sie bei Unipolarmaschinen. Die Astrophysik behandelt den Effekt im Zusammenhang mit stellaren Magnetfeldern.

Da die Messung der Induktionsspannung bei Unipolarinduktion nicht über eine geschlossene, dauerhafte Leiterschleife sondern nur über Schleifkontakte (oder Eintauchen in eine leitfähige Flüssigkeit) erfolgen kann, kann die Berechnung der Unipolarinduktion über das Induktionsgesetz zu konzeptuellen Problemen führen (siehe Faradaysches Paradoxon). Hingegen kann die Induktionsspannung relativ leicht über die Lorentzkraft auf die Ladungsträger im rotierenden Körper berechnet werden.

[Bearbeiten] Berechnung der Induktionsspannung für eine Scheibe

Im Folgenden wird angenommen, dass eine Scheibe mit der Winkelgeschwindigkeit $ω$ um ihre Achse in einem homogenen achsparallelen Magnetfeld $B$ rotiert. Es wird die Spannung zwischen der Achse und einem Schleifkontakt im Abstand $R$ von der Achse gemessen.

Die Lorentzkraft auf die freien Ladungsträger

$\vec F = e \, \vec v \times \vec B$

steht im Gleichgewicht mit der Feldkraft in dem durch die Ladungstrennung erzeugten elektrischen Feld

$\vec F = e \vec E$

$\vec B$ : Vektor der magnetischen Flussdichte
$\vec v$ : Geschwindigkeitsvektor
$e$ : Elementarladung.

Da $\vec v$ senkrecht auf $\vec B$ steht, wenn das Magnetfeld die Scheibe senkrecht durchsetzt, gilt das Kräftegleichgewicht:

$e\,E = e\,v\,B$

$e\,E = e\,\omega\,r\,B$

$r$ : Abstand des Elektrons von Rotationsachse
$ω$ : Winkelgeschwindigkeit der Scheibe
$E$ : Feldstärke des der Lorentzkraft entsprechenden elektrischen Feldes.

Durch Integration von E(r) ergibt sich die Induktionsspannung:

$U_i = \int\limits_{0}^{R} E(r)\,\mathrm{d}r = \int\limits_{0}^{R} \omega \cdot r \cdot B\,\mathrm{d}r = \omega B \cdot \frac{1}{2} R^2$

Mit dem Induktionsgesetz erfolgt die Herleitung ohne Integralrechnung:

$U_i = \frac {\mathrm{d}\Phi(t)}{\mathrm{d}t} = \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (A(t) \cdot B(t))$

$U_i = \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (\frac {\alpha}{2\pi} \, \pi R^2 \cdot B) = \frac {1}{2} \, \frac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}t} \, R^2 \ B = \frac {1}{2} \omega R^2 B$

Dabei ist $α$ der Winkel (im Bogenmaß) des Kreissektors der Fläche A, der vom Magnetfeld durchsetzt wird. d/dt symbolisiert die zeitliche Ableitung. Das Vorzeichen in $U i$ ist weg gelassen, die Polung ergibt sich aus der Drei-Finger-Regel.

[Bearbeiten] Literatur

Zur kurzen Theorie der Unipolarmaschine, L. Kneissler-Maixdorf, Elektrotechnik und Maschinentechnik, 61. Jahrgang, 1. Okt. 1943, Heft 39/40, Seite 479–486
Unipolarmaschine mit Kontaktwalzen für Abnahme des Stromes, Patentschrift Nr. 704671, Erfinder: Paul Gebhart, Patentiert am 24. März 1938
Unipolarmaschine für kleine Spannungen und hohe Ströme, M. Zorn, Elektrotechnische Zeitschrift, 61. Jg. Heft 16, 18. April 1940, Seite 358–360
Unipolar Machines, Association of the Magnetic Field, A. K. Gupta, American Journal of Physics 31 (1963), p. 428
Unipolarmaschinen, Otto Schulz, 1908, Verlag von Hachmaisler & Thal, Leipzig
Unipolarmaschine mit einer tiefstgekühlten Erregerwicklung, OS 2534511, Erfinder: Prof. Dr. Peter Klaudy, Anmelder: Siemens AG Anmmeldetag: 01. August 1975 Int. Cl. H 02 K 31/00
Elektrische Unipolarmaschine, OS 2537548, Erfinder: Dieter Wetzig, Anmelder: Siemens AG
Über unipolare Induktion, F. Ollendorf, Archiv für Elektrotechnik, XLIV-Band, Heft 2, 1959