Symbolische Dynamik

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Symbolische Dynamik ist ein Zweig der Theorie dynamischer Systeme, in dem Methoden der Formalen Sprachen (Grammatiktheorie, Automatentheorie, Komplexitätstheorie) und der Theorie Stochastischer Prozesse zur Anwendung kommen.

Der Ausgangspunkt der symbolischen Dynamik ist ein zeitdiskretes dynamisches System $(X,Φ)$ mit Zustandsraum $X$ und Fluss $\Phi : \mathbb{T} \times X \to X$ , wobei $\mathbb{T}$ entweder gleich $\mathbb{N}$ oder für reversible Dynamik gleich $\mathbb{Z}$ ist. Durch eine Partition des Zustandsraums $X$ in eine endliche Anzahl von n Teilmengen $A_1, A_2, \dots A_n$ gewinnt man eine Vorschrift, wie eine Anfangsbedingung $x_0 \in X$ auf eine Symbolsequenz abzubilden ist:

Weise der Anfangsbedingung $x 0$ ein Symbol $a_{k_0}$ zu, wenn $x_0 \in A_{k_0}$ , weise dann dem Folgezustand $x 1 = Φ(1, x 0)$ ein Symbol $a_{k_1}$ zu, wenn $x_1 \in A_{k_1}$ , kurz: Weise dem Zustand $x t = Φ(t, x 0)$ ein Symbol $a_{k_t}$ zu, wenn $x_t \in A_{k_t}$ . Die Folge der von der Bahnkurve $\{x_t | t \in \mathbb{T} \}$ durchzogenen Teilmengen kann dann als Symbolsequenz $s = a_{k_0} . a_{k_1} a_{k_2} a_{k_3} \dots$ mit Symbolen $a_{k_t} \in \mathbf{A}$ angesehen werden. Dabei ist $\mathbf{A}$ ein endliches Alphabet bestehend aus sovielen Symbolen wie es Teilmengen der Partition gibt.

Abhängig von der Zeitmenge $\mathbb{T}$ erhält man entweder einseitig unendliche Symbolsequenzen $s = s_0 . s_1 s_2 \dots$ , wenn $\mathbb{T} = \mathbb{N}$ (engl. one-sided shifts), oder zweiseitig unendliche Symbolsequenzen $s = \dots s_{-2} s_{-1} s_0 . s_1 s_2 \dots$ , wenn $\mathbb{T} = \mathbb{Z}$ (engl. two-sided shifts). Der Punkt nach $s 0$ kennzeichnet üblicherweise die Anfangsbedingung. Die Menge der Symbolsequenzen, der Zustandsraum der symbolischen Dynamik wird dann $\Sigma = \mathbf{A}^\mathbb{N}$ (einseitig), bzw. $\Sigma = \mathbf{A}^\mathbb{Z}$ geschrieben. Die obige Konstruktionsvorschrift einer Symbolsequenz entspricht dann einer Abbildung $\pi : X \to \Sigma$ , so daß $π(x 0) = s$ , wenn $\Phi(t, x_0) \in A_{k_t}$ , wobei der Teilmenge $A_{k_t}$ der Partition das Symbol $a_{k_t} \in \mathbf{A}$ zugeordnet ist.

Zwischen den symbolischen Darstellungen einer Anfangsbedingung $x 0$ und ihrer ersten Iteration $x 1 = Φ(1, x 0)$ besteht ein simpler Zusammenhang: Während $x 0$ durch die Sequenz $s = s_0 . s_1 s_2 s_3 \dots$ dargestellt wird, beginnt die Konstruktion der Symbolsequenz für $x 1$ mit dem Symbol $s 1$ . Daher wird $x 1$ durch die Folge $s' = s_1 . s_2 s_3 s_4 \dots$ dargestellt. $s'$ unterscheidet sich also von $s$ dadurch, daß alle Symbole in $s$ um eine Stelle nach links (oder der Punkt um eine Stelle nach rechts) gerückt sind. Daher gibt es eine Abbildung auf dem Raum der Symbolsequenzen $\sigma: \Sigma \to \Sigma$ , mit $σ(s) = s'$ . Die Abbildung $σ$ wird Linksverschiebung (engl. left-shift) genannt. $(Σ,σ)$ heißen symbolische Dynamik. Zwischen dem ursprünglichen System $(X,Φ)$ und der symbolischen Dynamik $(Σ,σ)$ besteht der Zusammenhang $\pi \circ \Phi = \sigma \circ \pi$ .