Satz von Sard
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Der Satz von Sard, auch als Sardsches Lemma oder Satz von Morse–Sard bekannt, ist eine Grundlage der Differentialtopologie, und dort der Morse-Theorie, sowie der Transversalitätstheorie bis hin zur Klassifizierung der Keime differenzierbaren Abbildungen in der Singularitätstheorie bzw. der Thom´schen Katastrophentheorie.
Dieser Satz macht eine Aussage über die Größe der Menge der kritischen Werte einer differenzierbaren Abbildung zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten. Dabei nennt man einen Wert genau dann kritisch, wenn er Bild eines kritischen Punktes ist.
Der Satz von Sard besagt, dass die kritischen Werte einer Abbildung 
zwischen zwei Mannigfaltigkeiten das Lebesgue-Maß 0 haben, falls die Abbildung aus 
, also r-mal stetig differenzierbar ist für ein r > max(0, dim(M)-dim(N)).
Spezialfälle davon sind:
- Ist
eine differenzierbare Funktion, so hat die Menge 
der kritischen Werte Maß 0. - Eine Untermannigfaltigkeit kleinerer Dimension hat stets Maß 0, beispielsweise der Graph einer differenzierbaren Funktion
als Teilmenge von 
. - Eine differenzierbare Abbildung zwischen zwei Mannigfaltigkeiten kann für
nicht surjektiv sein.
Für Abbildungen vom 
in den 
wurde der Satz 1942 von Sard bewiesen, wodurch er den drei Jahre früher von Morse gezeigten Spezialfall n=1 verallgemeinern konnte. Daher wird der Satz mitunter auch als der Satz von Morse-Sard bezeichnet.
[Bearbeiten] Literatur
- M. Golubitzky; V. Guillemin: Stable Mappings and Their Singularities, Springer, New York (1973)
- V. Guillemin; A. Pollack: Differential Topology, Prentice Hall (1974),
- M. W. Hirsch: Differential Topology, Springer New York (1976),
- M. Demazure: Catastrophes et Bifurcations, franz.: X, Paris (1989), engl.: Springer,
