Riccati-Gleichung

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Die Riccati-Differentialgleichung ist eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung der Form

$y' = \frac{dy}{dx} = P(x) + Q(x) \cdot y + R(x) \cdot y^2$ .

Sie ist nach dem Mathematiker Jacopo Francesco Riccati benannt, einem italienischen Grafen (1676-1754), der sich intensiv mit der Klassifizierung von Differentialgleichungen befasste und Methoden zur Reduzierung der Ordnung von Gleichungen entwickelte.

Die allgemeine Integration der Riccati-Differentialgleichung ist mit den üblichen Methoden nicht möglich - jedoch durch eine Substitution, wenn man eine Lösung $u = y p$ (etwa durch Raten) kennt:

Mit dieser partikulären Lösung $u$ führt man die Substitution

$z = y p - u$

durch und erhält eine Bernoulli-Differentialgleichung der Form

$z' = (Q(x) + 2 \cdot R(x) \cdot u(x)) \cdot z + R(x) \cdot z^2$ .

Deren Lösung (siehe dort) erfolgt durch Reduzierung auf eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung.

[Bearbeiten] Konstante Koeffizienten

Sind die Koeffizienten $P$ , $Q$ und $R$ keine Funktionen von $x$ , also konstant, dann lässt sich die Riccati-Dgl. in eine lineare homogene Dgl. 2. Ordnung umformen.

$y' = P + Q \cdot y + R \cdot y^2 \quad ; \quad P,Q,R \neq f(x)$

Multipliziert man die Riccati-Dgl mit $R$ , ergibt sich

$(R \cdot y)' = P \cdot R + Q \cdot R \cdot y + (R \cdot y)^2$ .

Substituiert man $R \cdot y = w$ erhält man die Dgl. in der Normalform

$w' = P \cdot R + Q \cdot w + w^2$ .

Des Weiteren substituiert man $w$ in der folgenden Weise:

$w = - \frac{z'}{z}$

Daraus folgt

$w^2 = (\frac{z'}{z})^2$

und

$w' = \frac{(z')^2 - z \cdot z''}{z^2}$ .

Setzt man das in die Normalform der Dgl. ein, ergibt sich

$\frac{(z')^2 - z \cdot z''}{z^2} = P \cdot R - Q \cdot \frac{z'}{z} + (\frac{z'}{z})^2$ .

Durch Umformen erhält man eine lineare homogene Dgl. 2. Ordnung für z:

$z'' - Q \cdot z' + P \cdot R \cdot z = 0$ .

Mit der Lösung für $z$ ergibt sich die Lösung der Riccati-Dgl. zu

$y = \frac{w}{R} = - \frac{z'}{R \cdot z}$

[Bearbeiten] Weitere "Riccati-Gleichungen"

Denselben Namen Riccati-Differentialgleichung tragen noch zwei andere Gleichungstypen, die für verschiedene Themen von Angewandter Mathematik bis zur Finanzwissenschaft von Bedeutung sind (siehe Weblinks).