Pythagoreisches Komma

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Die Intervalle

Prime
Sekunde
(Halbton/Ganzton)
Terz
Quarte
Quinte
Sexte
Septime
Oktave
None
Dezime
Undezime
Duodezime
Tredezime

Spezielle Intervalle

Komma
Diësis
Limma
Apotome
Ditonus
Tritonus
Wolfsquinte

Einheit

Cent

Das Pythagoreische Komma ist in der Musik ein Intervall von etwa einem Achtelton. Es tritt in reiner Stimmung als der Unterschied von 7 Oktaven zu 12 Quinten auf, jedoch nicht als selbständiger musikalischer Tonschritt. Als erster definierte der Pythagoreer Philolaos das pythogoreische Komma. Die erste Berechnung der Komma-Proportion als 532441:524288 findet sich bei Euklid; ihr liegt die Oktave mit Proportion 2:1 und die reine Quinte mit Proportion 3:2 zugrunde.

Die Bedeutung des Pythagoreischen Kommas geht aus folgender Tabelle hervor, in der gemäß der Quintenspirale 12 reine Quinten aufeinander gesetzt werden. Diese haben je ein Frequenzverhältnis von 2 : 3. Daneben sind 7 Oktaven aufeinander gesetzt. (Im Beispiel wird C als Grundton verwendet).

Ton	Quinte	Frequenzverhältnis	entspricht
C	0	1 : 1	= 1 : 1
G	1	2 : 3	= 1 : 1,5
D	2	4 : 9	= 1 : 2,25
A	3	8 : 27	= 1 : 3,375
E	4	16 : 81	= 1 : 5,0625
H	5	32 : 243	= 1 : 7,59375
Fis	6	64 : 729	= 1 : 11,390625
Cis	7	128 : 2187	= 1 : 17,0859375
Gis	8	256 : 6561	= 1 : 25,62890625
Dis	9	512 : 19683	= 1 : 38,443359375
Ais	10	1024 : 59049	= 1 : 57,6650390625
Eis	11	2048 : 177147	= 1 : 86,49755859375
His (≈ C)	12	4096 : 531441	= 1 : 129,746337890625

Ton	Oktave	Frequenzverhältnis
C	0	1 : 1
C	1	1 : 2
C	2	1 : 4
C	3	1 : 8
C	4	1 : 16
C	5	1 : 32
C	6	1 : 64
C	7	1 : 128

Der Unterschied der beiden Töne (letzte in den Tabellen) ergibt ein Frequenz-Verhältnis von

$\frac{4096 \cdot 128}{531441} = \frac{2^7}{\left(\frac{3}{2}\right)^{12}} = \frac{2^{19}}{3^{12}} = \frac{524288}{531441} \approx \frac{128}{129{,}746} \approx \frac{1}{1{,}01364} \approx 23{,}46\;\mathrm{Cent}$ .

Das Intervall mit diesem Verhältnis wird Pythagoreisches Komma genannt.

[Bearbeiten] Das Pythagoreische Komma als Grundproblem der Harmonik

Ein Instrument (wie die modernen Tasteninstrumente), das pro Oktave nur 12 verschiedene Töne erzeugen kann, lässt sich nicht so stimmen, dass es in allen Tonarten mit absolut reinen Intervallen gespielt werden kann. In der Praxis wird versucht, beim Stimmen von Musik-Instrumenten dieses pythagoreische Komma, also diesen "Fehler", möglichst sinnvoll auf alle Töne zu verteilen. Nach verschiedenen Theorien ergeben sich dann die verschiedenen musikalischen Stimmungen. Es gab auch Versuche mit Tasteninstrumenten, deren Oktave mehr als 12 Töne umfasst (z.B. geteilte schwarze Tasten).

Zwölf reine Quinten (2:3) ergeben 8423,46 Cent, sieben Oktaven dagegen nur 8400 Cent. Damit sich in gleichstufig-temperierter Stimmung die Quintenspirale nach 7 Oktaven zum Quintenzirkel schließt, muss das Pythagoreische Komma beim Stimmen auf die 12 Quinten verteilt werden. Damit wird die reine Quinte von 701,9550 Cent um 1,9550 Cent auf 700 Cent verkleinert.

Reine Quinte: $1200 \cdot \log_2 \left({3\over 2}\right)\;\mathrm{Cent} \approx 701{,}9550\;\mathrm{Cent}$ .