Pseudovektor

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Ein Pseudovektor oder axialer Vektor ist im Gegensatz zu einem gewöhnlichen Vektor, der zur Unterscheidung auch polarer Vektor genannt wird, invariant gegenüber der Punktspiegelung als Koordinatentransformation.

Mit anderen Worten: Während ein polarer (d.h. gewöhnlicher) Vektor (x,y,z) bei Inversion (Punktspiegelung am Koordinatenursprung) übergeht in (-x,-y,-z), bleiben bei einem Pseudovektor die Koordinaten unverändert.

Man kann einen Pseudovektor c aus einem Paar (a,b) polarer Vektoren durch Bildung des Kreuzproduktes c:=a×b konstruieren. Somit bleibt beim Übergang von (a,b) zu (-a,-b) per Punktspiegelung c=(-a)×(-b) invariant.

Das Kreuzprodukt c eines polaren Vektors d mit einem Pseudovektor ist wieder ein Vektor, also ist c = d × (a × b) ein Vektor. Der Begriff des Pseudovektors ist aus der Notwendigkeit entstanden, die lineare Abbildung W(v):=w×v invariant (für Physiker: kovariant) unter Koordinatentransformationen zu gestalten. Aus dem Transformationsverhalten der Abbildungsmatrix von W wird dabei das Transformationsverhalten von w abgeleitet.

Im allgemeinen Fall ist ein Pseudovektor in einem n-dimensionalen Spaltenvektorraum mit euklidischem Skalarprodukt ein antisymmetrischer Tensor (n-1)-ter Stufe. Da dieser wieder durch n Koordinaten charakterisiert werden kann, kann man ihm einen gewöhnlichen Vektor zuordnen (s. Hodge-Stern-Operator). Genauer, der Pseudovektor c zu den Vektoren a₁, ..., a_n-1 entsteht durch Laplace-Entwicklung der Determinante der Matrix A(x)=(a₁, ...,a_n-1,x), die aus diesen Spaltenvektoren zusammengesetzt ist, nach der letzten Spalte. d.h.

$c_1x_1+\dots+c_nx_n=\det \begin{pmatrix} a_{1,1}&\dots&a_{1,n-1}&x_1\\ \vdots&&\vdots\\ a_{n,1}&\dots&a_{n,n-1}&x_n\\ \end{pmatrix}$

[Bearbeiten] Beispiel: Spiegelung an einem Punkt

Sei a= (1,2,3), b= (-7, 8, 9). Dann beträgt das Kreuzprodukt c = a x b: c= (-6, -30, 22).

Bei Inversion geht a über in a'=(-1, -2, -3) und b in b'= (7, -8, -9). Das Kreuzprodukt c' ist jedoch unverändert: c' = c = (-6, -30, 22).

[Bearbeiten] Beispiel: Spiegelung an einer Ebene

Betrachten wir das Beispiel einer rotierenden Scheibe. Die Scheibe habe eine rote Oberseite und eine gelbe Unterseite. Die Rotation wird durch den Winkelgeschwindigkeitsvektor beschrieben. Nehmen wir an, die Rotationsrichtung sei so, dass der Winkelgeschwindigkeitsvektor von der roten Oberseite nach oben wegzeigt. Nun betrachten wir das Spiegelbild dieser rotierenden Scheibe. Angenommen wir wüssten nicht, dass es sich um ein Spiegelbild handelt. Wollen wir den Winkelgeschwindigkeitsvektor des Spiegelbildes einzeichnen, so müssen wir ihn von der gelben Unterseite mit dem Pfeil nach unten zeichnen. Die Richtung des Winkelgeschwindigkeitsvektor hat sich durch die Spiegelung umgekehrt.

Beispiele aus der Physik mit dem Ortsvektor $\vec r$ , dem Geschwindigkeitsvektor $\vec v$ und dem Nablaoperator $\nabla$ :