Polnischer Raum

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Ein polnischer Raum ist ein Begriff aus der Topologie.

Ein topologischer Raum X heißt polnisch wenn er separabel und vollständig metrisierbar ist.

Ein polnischer Raum ist also ein spezieller topologischer Raum mit den obigen Eigenschaften, dabei bedeutet vollständig metrisierbar, dass es eine Metrik d auf X gibt, die die Topologie induziert und zugleich jede Cauchy-Folge bezüglich d konvergiert. Der Konvergenzbegriff ist also entscheidend vom Metrikbegriff abhängig.

Eine Metrik d induziert die Topologie auf X, wenn wir die offenen Mengen von X durch offene Kugeln bezüglich d erklären können.

Eine Teilmenge A eines topologischen Raumes X liegt dicht in X, falls $\overline{A} = X$ gilt. X ist separabel, wenn er eine abzählbar dichte Teilmenge besitzt.

Separable und vollständig metrisierbare topologische Räume werden zu Ehren der polnischen Mathematiker, die sich als erste mit ihnen beschäftigten (Sierpinski, Kuratowski, Tarski) polnisch genannt. Polnische Räume spielen heute eine wichtige Rolle in der Deskriptiven Mengenlehre

[Bearbeiten] Beispiele

Für jedes n ist ${\mathbb R}^n$ mit seiner natürlichen Topologie ein polnischer Raum.
Allgemein ist jeder separable Banach Raum versehen mit der durch seine Norm induzierten Topologie polnisch.
Jeder kompakte metrisierbare Raum ist polnisch.
Die natürlichen Zahlen mit der diskreten Topologie bilden einen polnischen Raum.
Das Produkt $\prod_{i \in I} X_i$ von polnischen Räumen $X i$ (ausgestattet mit der Produkttopologie) bildet einen polnischen Raum, wenn die Indexmenge I endlich oder abzählbar ist.
Die Menge der irrationalen Zahlen bildet einen polnischen Raum. In der üblichen ("euklidischen") Metrik (die durch d(x,y) = |x-y| definiert ist) sind die Irrationalzahlen zwar nicht vollständig; eine Folge von Irrationalzahlen, die gegen eine rationale Zahl konvergiert, ist zwar eine Cauchyfolge, aber hat im Raum der Irrationalzahlen keinen Grenzwert. Die Irrationalzahlen sind aber homöomorph zum Produkt ${\mathbb N}^{\mathbb N}$ von abzählbar vielen Kopien der natürlichen Zahlen.
Explizit kann man eine vollständige Metrik auf den Irrationalzahlen so angeben: d(x,y) = 1/(n+1), wenn die ersten n Terme der Kettenbruchentwicklung von x und y übereinstimmen, aber nicht die ersten n+1 Terme.
Jede G-delta-Teilmenge eines polnischen Raums (also jeder Schnitt von höchstens abzählbar vielen abgeschlossenen Teilmengen) ist wiederum ein polnischer Raum.