Numerische Differentiation

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Mit Numerischer Differentation versucht man von einer Funktion $f:\Bbb{R}\to\Bbb{R}\,$ , die an der Stelle $x_0\,$ differenzierbar ist, eine möglichst gute Näherung für die Ableitung $f'(x_0)\,$ zu berechnen.

$f'(x_0)\,$ ist theoretisch gegeben durch den Grenzwert $\lim_{h\to 0} \Delta(h)$ , wobei $\Delta(h):=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ der (Vorwärts-)Differenzenquotient ist.

Inhaltsverzeichnis

1 Größe des h
- 1.1 Verfahrensfehler
- 1.2 Rundungsfehler
2 Berechnung des Fehlers
3 Verbesserung

[Bearbeiten] Größe des h

[Bearbeiten] Verfahrensfehler

Der Verfahrensfehler $\,e_V(h)$ ist die Differenz zwischen $\Delta(h)\,$ und dem exakten Ableitungswert. Dieser fällt mit kleiner werdendem h.

[Bearbeiten] Rundungsfehler

Lässt man sich $\Delta(h)\,$ für sehr kleine $h\,$ berechnen, so liefert dies womöglich keine brauchbare Näherung für $f'(x_0)\,$ . Denn ist $h\,$ sehr klein, so weichen $f(x_0+h)\,$ und $f(x_0)\,$ sehr wenig von einander ab und bei der Differenzbildung $f(x_0+h)-f(x_0)\,$ kann es zur Auslöschung kommen. Die Division durch das sehr kleine $h\,$ verstärkt diesen Fehler. Deshalb darf $h\,$ auch nicht zu klein sein.

Der Gesamtfehler ist dann die Summe aus diesen beiden Fehlern. Er fällt zunächst für große h und steigt für kleine h wieder stark an.

[Bearbeiten] Berechnung des Fehlers

Sind $f_0:=rd(f(x_0))\,$ und $f_h:=rd(f(x_0+h))\,$ die genäherten Funktionsauswertungen, so sind $e_0:=f(x_0)-f_0\,$ und $e_h:=f(x_0+h)-f_h\,$ die jeweiligen Rundungsfehler.

Der Gesamtfehler $e(\Delta)=rd\left(\frac{f_n-f_0}{h}\right)\approx \frac{f_h-f_0}{h} =\left[\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}-f'(x_0)\right]+\frac{e_0-e_h}{h}=e_V(h)+e_R(h)$ setzt sich zusammen aus dem Verfahrensfehler $\,e_V(h)$ und dem Rundungsfehler $\,e_R(h)$

Mit der Taylorapproximation $f(x_0+h)=f(x_0)+f'(x_0) h +\frac{f''(\xi)}{2}h^2$ , wobei $\xi\in [x_0,x_0+h]$ ist, lässt sich $e_V(h)\,$ schreiben als $\frac{f''(\xi)}{2} h$ . Sind $|e_0|\!$ und $|e_h|\!$ jeweils kleiner als $\varepsilon_f\,$ dann ist $|e_R(h)|\le \frac{2\varepsilon_f}{h}$ und somit ist der Gesamtfehler $e(\Delta)\le\frac{M}{2} h+\frac{2\varepsilon_f}{h}=:e_S(\Delta)$ wobei $M:=\max_{[x_0,x_0+h]} f''$ sein soll. Da $e_S'(\Delta)=\frac{M}{2}-\frac{2\varepsilon_f}{h^2}$ wird die obere Schranke durch $h=2\sqrt{\frac{\varepsilon_f}{M}}$ minimiert.

[Bearbeiten] Verbesserung

Ist $\Delta\,$ nicht der Vorwärts Differenzenquotient sondern der Zentrale Differenzenquotient, d.h. $\Delta(h)=\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}$ , so verbessert sich die Fehlerordnung.

Denn wegen $\begin{matrix} f(x_0+h)=f(x_0)+f'(x_0) h+\frac{1}{2} f''(x_0)h^2+O(h^3) \\ f(x_0-h)=f(x_0)-f'(x_0) h+\frac{1}{2} f''(x_0)h^2+O(h^3) \end{matrix}$

ist $f(x_0+h)-f(x_0-h)=2 f'(x_0) h+O(h^3)\!$ und somit $\Delta(h)=f'(x_0)+O(h^2)\!$ .

Durch Kombinationen wie $\Delta(h)=\frac{-3f(x_0)+4f(x_0+h)-f(x_0+2h)}{2h}$ oder $\Delta(h)=\frac{-f(x_0+2h)+8f(x_0+h)-8f(x_0-h)+f(x_0-2h)}{12h}$ lässt sich die Fehlerordnung weiter verbessern.