Kurve (algebraische Geometrie)
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Die ersten betrachteten Objekte der algebraischen Geometrie waren ebene algebraische Kurven, also Teilmengen der Ebene, die durch eine Polynomgleichung beschrieben sind, wie beispielsweise die Kreislinie
- x2 + y2 = 1,
oder die Standardparabel
- y = x2.
Diese Objekte sind in einem geeigneten Sinn eindimensional, anschaulich heißt das, dass man sich auf ihnen nur in einer Richtung (und nicht quer dazu) bewegen kann. (Ihre Ausbreitung in der Ebene ist dafür irrelevant.) In Verallgemeinerung davon heißen alle eindimensionalen Objekte der klassischen algebraischen Geometrie Kurven.
Die moderne Definition lautet: Eine (algebraische) Kurve ist ein eindimensionales separiertes algebraisches Schema über einem Körper. Häufig werden auch noch weitere Voraussetzungen wie geometrische Reduziertheit oder Irreduzibilität in die Definition mit aufgenommen.
[Bearbeiten] Beispiele
- Die affine bzw. projektive Gerade A1 bzw. P1.
- Elliptische Kurven.
