Diskussion:Kurt Gödel

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Kann mir jemand zufällig sagen, ob diese Aussage aus der p.m. (Ausgabe 09/2005 [1])irgendwann mal bewiesen wurde bzw. ob es Quellen oder Nachforschungen dazu gibt? Mich würde die "Lücke" schonmal interessieren!

Hier ein Artikel zu diesem Thema, leider nur auf etwas höherem Niveau als die PM ;-) http://www.heise.de/tp/r4/artikel/20/20354/1.html --M. Schmidt, 30. Apr 2006

"Gödels Einbürgerung wäre beinahe an seinem scharfen mathematischen Verstand gescheitert. Denn beim Studium der US-Verfassung fiel ihm auf, dass sie infolge eines logischen Widerspruchs im Text durchaus eine Diktatur ermöglichen könnte. Als bei der Einbürgerungszeremonie der Richter dem korrekten Herrn aus »Austria« jovial mitteilte, nun wäre er in einem freien Land, in dem niemals ein Diktator herrschen könne, sprang Gödel erregt auf: Das sei keineswegs so. Freund Einstein, der sicherheitshalber daneben saß, zupfte ihn am Ärmel und mahnte ihn zum Schweigen. Zum Glück ließ der Richter (der zuvor schon Einstein eingebürgert hatte) die Sache auf sich beruhen – so seien die Wissenschaftler eben, und letztlich würden sie ja alle gute Amerikaner. Wie Gödels messerscharfer Verstand die amerikanische Demokratie theoretisch aushebeln wollte, ist leider nicht überliefert."--Iowa 12:21, 30. Aug 2005 (CEST)

Die Annekdote habe ich in Gödels gesammelten Werken auch gelesen. Allerdings fand sich auch hier keine Erläuterung der Gedanken Gödels. Ich fürchte auch, das da bereits von seiten Gödels oder Einsteins nichts überliefert worden ist, um die Einbürgerung nicht zu gefährden. --kl833x9 10:57, 12. Okt 2005 (CEST)

From Eginhart Biedermann, biedermann@clix.pt 15.9.2005

== kein Problem, es gibt keine Verfassung und keinen Staat, der nicht einer Diktatur verfallen kann, gerade eben, weil sie als geschlossene Systeme auftreten, denn selbst die Legislative, die als Rechtsphilosophie auftritt, ist in letzter Zeit ins stocken gekommen und - statt zu vereinheitlichen - differenziert sich das System aus - bis es umkippt. Ist auch in Deutschland, das Gesetze schafft, die manchal unterbestimmt sind und manchmal aufgrund ihrer Überbestimmtheit am konkreten Sachverhalt vorbei gehen, derart. Spätestens seit dem Konstruktivismus [der die Dekonstruktion beinhaltet] sollte das klar sein. 134.2.223.170 19:10, 18. Apr 2006 (CEST)

            ==THE GAP IN GÖDELS PROOF==
                                             or
            ==Gödels Incompleteness==

Hello to all the Gödel-experts in this Wiki-world ! Somewhat amused by your detailed discussion about the best wording of the Incompleteness Theorem, I wonder whether anyone of you has ever taken a closer look at Gödel’s original paper ( or any word-for-word English translation, or even the exposition in the Nagel-Newman booklet). To my understanding, the technical details of Goedels way of putting together his Unprovable Formula deserve just as much attention. It is not difficult at all to spot there what I would like to call ‘Gödels Incompleteness’ ! If you are interested, please follow me through the following lines: In the long sequence of the some 40 definitions which Gödel introduced for the construction of his famous Unprovable Formula, we find under numbers 16. - 17. the definitiion of Z(n) as the Gödel-number of the presentation of any whole number n which is given in Gödels Formal System through n-fold positioning of the symbol f in front of the symbol 0, so Z(4) is the Gödel-number of ‘ffff0’. So far so good. Further on however Gödel introduces,( I follow here Nagel-Newman’s way of writing the formulae to get them on a single line of typing) after having defined the Gödel-number of the symbol y to be 13, the formula

(1) (x)~Dem(x,sub(y,13,Z(y))) ,

of which he claims to be able to determine the Gödel-number n, by means of which he then proceeds to his famous formula

(G) (x)~Dem(x,sub(n,13,Z(n)))

with its self-fullfilling interpretation of its own non-derivability.

However: what is Z(y)? From what we read above, it should be the Gödel-number of the symbol-sequence that results from the y-fold positioning of f in front of the symbol 0. But nobody, not even Gödel, is capable of putting the symbol f y-times on a sheet of paper, not even in thought. Equally, we all are incapable of determining the Gödel-number of a non-existing symbol-sequence. Consequently no Gödel-number of formula (1) can exist, and formula (G) operates with a non-existing number n. So, my conclusion: this so nice looking formula (G) simply does not exist as a sequence of symbols of System S! That is what I dare to call

    GöDELS  INCOMPLETENESS     or     THE  GAP  IN  THE  PROOF

In all the so abundant Goedel-literature I have never found any remark on this point. P. Bernays, the then assistant to Hilbert, who evidently talked him into accepting this proof as correct, was all too happy to get, with this help of Gödels, out of the trap of never finding a set of axioms as his master had been asking for!. Hilbert himself, at his old age, certainly never worked his own way through all of Goedels paper! That’s what you have assistants for! And evidently up to these days nobody was ever interested in, or dared questioning Hilperts acceptance of Gödels paper.

Another questionable aspect of Gödels reasoning shows up in the word-for-word definition of what the abreviation sub(y,13,Z(y)) is standing for: it reads (due to the definition of ‘13’ to be the Gödel-number for the symbol y !):

‘’The Gödel-number of the term that results from the term with Gödel-NUMBER y via substitution of the VARIABLE y by the representation of the NUMBER y ‘’!!!

To my understanding the symbol y appears here in two clearly different identities, yet, whoever wants to obtain conclusive results in mathematics should not start with such inconclusive definitions! I am sure, any properly built checking program would detect this bug in a matter of seconds on my desktop! Yet this inconsistency is crucial to Gödels selfreferent construct ! My conclusion to all of this Gödel-story simply reads:

          Paper is just too pacient

and even the best human brains may all too easily be misled !

From Eginhart Biedermann, e-mail: biedermann@clix.pt

Inhaltsverzeichnis 1 Anmerkungen 2 Cohen und Gödel 3 Gödel-Universum 4 Lesenswert-Diskussion 5 einstein&gödel 6 Psychische Krankkheit 7 nicht korrekt

[Bearbeiten] Anmerkungen

Entweder man baut es in den Fließtext ein oder einfach weglassen, so druntergeklatscht ist das nicht schön. Die Zweite hab ich mal einsortiert. Ob ich damit allerdings so glücklich bin weiß ich selbst noch nicht… --dbenzhuser 01:53, 10. Okt 2005 (CEST)

1. Genau sind es zwei Unvollständigkeitssätze, deren Bedeutung hier vermischt wurde, um den Rahmen eines biografischen Artikels nicht mit Erläuterungen zu sprengen. Alles weitere findet sich zum Beispiel im Artikel Gödelscher Unvollständigkeitssatz oder besser in der englischen Übersetzung von Gödels Schrift
2. Der Logiker Paul Cohen konnte 1963 beweisen, dass sowohl das Auswahlaxiom wie auch die Kontinuumshypothese auf Grundlage der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre formal unentscheidbar sind. Er fand damit die ersten Beispiele für unentscheidbare Aussagen, deren Existenz Gödel bewiesen hatte.

Das ist Geschmacksache. Ich mag es zu Beispiel nicht, wenn im Text etwas vom Thema abgewichen wird, um z.B. solche Nebeninformationen, wie sie oben aufgeführt sind, zu erläutern. Aber egal, von mir aus kann der Text auch so bleiben wie er jetzt ist, da alle Informationen, die Kurt Gödel als Person betreffen, ja noch vorhanden sind. --kl833x9 10:53, 12. Okt 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Cohen und Gödel

Ich bin gerade über folgenden Satz gestolpert (der ähnlich auch noch unter Kontinuumshypothese auftaucht): "Der Logiker Paul Cohen konnte 1963 beweisen, dass sowohl das Auswahlaxiom wie auch die Kontinuumshypothese auf Grundlage der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre formal unentscheidbar sind. Er fand damit die ersten Beispiele für unentscheidbare Aussagen, deren Existenz Gödel bewiesen hatte." Daß ganz bestimmte Sätze sich aus einem ganz bestimmmten System (hier ZF) nicht ableiten lassen, scheint mir mit Gödels sehr viel allgemeineren Resultaten nicht sehr viel zu tun zu haben und insofern auch kein Beispiel für eine unentscheidbare Aussage im strengen Sinne darzustellen. Schließlich könnte ja die Kontinuumshypothese (oder ihre Negation) aus einem reicheren System ableitbar sein. Und die Relevanz von Gödels Unvollständigkeitssatz besteht doch gerade in dem Nachweis, daß Axiomatiserungen der Arithmetik *notwendigerweise* unvollständig bleiben müssen. --Toto 10:45, 29. Okt 2005 (CEST)

Ich zitiere hier zunächst aus der Einleitung von Gödels Arbeit 1931 (basierend allerdings auf dem Axiomensystem PM aus der Principia Mathematica): "Aus der Bemerkung, daß [R(q),q]" (Ein Satz, der basierend auf den Axiomen von PM definiert wurde) "seine eigene Unbeweisbarkeit behauptet, folgt sofort, daß [R(q),q] richtig ist, den [R(q),q] ist ja unbeweisbar (weil unentscheidbar)." (Hinzufügung: unentscheidbar im System von PM, sonst wäre der nächste Satz Gödels nicht sinnvoll.) "Der im System PM unentscheidbare Satz, wurde als durch Metamathematische Überlegungen [...]" (d.h. durch das Verwenden eines mächtigeren Axiomensystems als PM) "[...] doch entschieden."

Wenn ich den Gödel jetzt richtig verstehe, meint er damit, dass ein Ausdruck in einem bestimmten Axiomensystem unbeweisbar ist, weil eben dieses System nicht vollständig genug ist, um die Beweisbarkeit des Ausdrucks zu beweisen ;-). Wenn Cohen also versucht hat, den logischen Ausdruck, der allgemein als das Auswahlaxiom = Axiom of Choice = C bezeichnet wird, mittels ZF ohne C zu beweisen, und dabei festgestellt hat, das ZF die Möglichkeit nicht bietet, der Richtigkeit/Falschheit von C zu entscheiden, dann hat er tatsächlich (als Erster) einen ganz konkreten Fall der Gödelschen Unentscheidbarkeit gefunden. Wenn jetzt C innerhalb eines mächtigeren Axiomensystems entscheidbar wäre, so hätte das keinen Einfluss auf die vorher gefundene Unentscheidbarkeit innerhalb von ZF.

Was hat das nun mit der Arithmetik (der natürlichen Zahlen nehme ich an) zu tun ? Wenn die Axiomatisierungen dieser Arithmetik auf einem System wie PM oder ZF oder ZF+C oder ZFM mit kleineren Erweiterungen beruhen, so kann man aufgrund der allgemeinen Arbeit von Gödel als auch der Arbeit von Cohen davon ausgehen, das sich auch für dieses System ebenfalls solche Sätze finden lassen. (Das ist aber nicht ganz sicher.) Ich weis aber momentan nicht, ob sich bis jetzt jemand die Mühe gemacht hat einen konkreten Satz, der mit den Mitteln eines solchen Axiomensystems gebildet wurde, zu finden.

Fazit: Man sollte den fraglichen Satz über Cohen vielleicht folgendermaßen abändern:

"Der Logiker Paul Cohen konnte 1963 zeigen, dass sowohl das Auswahlaxiom wie auch die Kontinuumshypothese auf Grundlage der Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre formal unentscheidbar sind. Er fand damit als Erster konkrete Beispiele für formal unentscheidbare Aussagen auf der Basis bestimmter Axiomensysteme, deren allgemeine Existenz Kurt Gödel bewiesen hatte."

--kl833x9 12:51, 31. Okt 2005 (CET)

[Bearbeiten] Gödel-Universum

Im Artikel fehlt noch vollständig die Beschäftigung Gödels mit Einsteins Allgemeiner Relativitätstheorie und seiner "Entdeckung" des Gödel-Universums, das keine Gesamtzeit besitzt und somit Zeitreisen ermöglicht. Meines Halbwissens nach ist Gödel Zeit seines Lebens davon ausgegangen, dass unser "reales Weltall" sich auch als Gödel-Universum beschreiben lässt. Weiterhin kann erwähnt werden, dass Gödel sich nach dieser Entdeckung sehr stark mit der philosophischen Komponente des Zeitbegriffs auseinandergesetzt hat.

CW 14:45, 11. Jan 2006 (CEST)

[Bearbeiten] Lesenswert-Diskussion

Kurt Gödel (* 28. April 1906 in Brünn, Österreich-Ungarn, heute Brno, Tschechien; † 14. Januar 1978 in Princeton, New Jersey) war Mathematiker und Logiker. Gödel wird von vielen als der bedeutendste Logiker des 20. Jahrhunderts angesehen.

• Pro - Zufallsfund. Nicht sehr lang, der Artikel hat mir aber trotzdem sehr gut gefallen. Ein Mann, dessen philosophisch-mathematische „kopernikanische Wende“ noch immer nicht ganz im allgemeinen Bewusstsein angekommen ist und dessen Leben tragisch endete. --Markus Mueller 02:27, 17. Dez 2005 (CET)

• Pro Umfangreich und detailiert beschrieben und gut lesbar. --Micha99 07:02, 17. Dez 2005 (CET)
• pro - doch, gefällt mir -- Achim Raschka 08:18, 17. Dez 2005 (CET)
• ES gibt ein Problem mit Bildrechten. Die Copyright-notive auf [2] ist entweder dreist gelogen oder von jemandem ohne Ahnung verfasst. Wenn man die Bilder alle für Schnappschüsse oder Standard-Aufnahmen ohne persönliche geistige Schöpfung des Fotografen deklariert, dann sind Bilder vor 1955 gemeinfrei. Das letzte Bild (1958) muss dann raus. Hält man die Bilder für Lichtbildwerke, müssen alle raus, da die Schutzfristen noch laufen. --h-stt 09:24, 17. Dez 2005 (CET)

• Ich habe das Bild von 1958 aus dem Artikel entfernt. --Markus Mueller 12:26, 17. Dez 2005 (CET)

• pro sehr gut beschrieben.--Wiggum 16:10, 17. Dez 2005 (CET)
• Pro, aber

1. Schon am Anfang sollte stehen, dass er aus einer jüdischen Familie stammte. Später wird zwar erwähnt, dass er unter den Nazis Probleme hatte, aber es wird nicht wirklich klar gesagt wieso. Auch sollte beim Mord an Moritz Schlick erwähnt werden, dass er von einem Nationalsozialisten ermordet wurde, weil er Jude war. Dann werden auch die Gründe für den Nervenzusammenbruch klar.
2. en:Kurt Gödel erwähnt noch einige interessante Details, die in den Artikel eingepflegt werden können. -- Mkill 20:13, 18. Dez 2005 (CET)

• Pro - fundiert, präzise und guter Stil. -- Karl Friedrich
• Neutral - Da gibts schon noch einiges zu verbessern, s.o. Sowie:

1. Einige Fach-/Fremdworte sind nicht verlinkt bzw. erklärt. Teilweise unnötig schwer zu lesen.
2. Auch wird auf sein eigentümliches Verhalten und seine Ernährungsprobleme hingewiesen, ohne daß sich der Leser vorstellen kann wie sich das geäussert hat. --Flame99 15:45, 19. Dez 2005 (CET)

[Bearbeiten] einstein&gödel

• http://ante-et-post.weblog.com.pt/EinsteinGodel.jpg

[Bearbeiten] Psychische Krankkheit

Gödels Paranoia rücken mir im Artikel zu sehr in den Hintergrund. Er war doch nicht jüdisch, oder? Also hatte er in Österreich durch Nazis nicht um Leib und Leben zu fürchten. Er hatte ständig Angst, durch Essen vergiftet zu werden; das gehört doch in den Anfang der Biographie, oder? Es wird nirgendwo genau benannt, worin seine "Krankheit" bestand.--Eagle22 20:13, 27. Nov. 2006 (CET)

[Bearbeiten] nicht korrekt

Ich glaube, folgender Satz ist nicht ganz korrekt: Dieser besagt, dass eine beliebige Klasse von Formeln k nicht logisch vollständig innerhalb des von k gebildeten Formelsystems bewiesen werden kann, weil sonst k nicht widerspruchsfrei wäre. Alle Axiome können nämlich selbstverständlich bewiesen werden.

Besser wäre vielleicht: Dieser besagt, dass in einem genügend reichhaltigen und widerspruchsfreien Axiomensystem es immer Aussagen gibt, die aus diesem weder bewiesen noch widerlegt werden können.

Auch folgender Satz ist nicht richtig: Das bedeutete, dass alle Sätze der Mathematik nur durch ein System bewiesen werden konnten, welches mächtiger als die Menge aller mathematischen Sätze war. Formalistische Deutung: Welches mathematischen Sätze überhaupt sind, wird erst durch das System festgelegt. Also macht der Satz oben keinen Sinn. Platonistische Deutung, also der von Gödel selbst: Es gibt unabhängig von uns selbst und von einem gewählten Axiomensystem mathematische Wahrheiten, die der menschliche Geist auch zu entdecken vermag. Dann bedeutet der Unv.satz, dass der menschliche Geist bzw. seine Intuition nicht in einem formalen System eingefangen werdfen kann.

Außerdem war, so weit ich weiß, Gödel nie recht begeistert von den Gesprächen im Wiener Kreis. Im Gegenteil, zeitlebens hat er den Positivismus bzw. Formalismus des Wiener Kreises bekämpft. Bezeichnend ist der Ausspruch Mengers zu Gödel auf dem Nachhauseweg vom Wiener Kreis: Heute haben wir diese Wittgensteinianer einmal ausgewittgensteint: Wir haben geschwiegen. --Reichi4 21:46, 4. Dez. 2006 (CET)reichi4