Kepler-Gleichung

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Die Kepler-Gleichung ergibt sich aus den Keplerschen Gesetzen durch Einführung der exzentrischen Anomalie E und der mittleren Anomalie M.

Mit ihrer Hilfe lässt sich das Kepler-Problem lösen, also die wahre Anomalie T, den momentanen Winkelabstand eines Himmelsobjekts von der Periapsis auf seiner Keplerbahn berechnen.

Inhaltsverzeichnis

1 Die mittlere Anomalie
2 Die exzentrische Anomalie
3 Die Keplergleichung
- 3.1 Berechnung der exzentrischen Anomalie
4 Die wahre Anomalie
5 Der Radius
6 Siehe auch
7 Literatur
8 Einzelnachweise

[Bearbeiten] Die mittlere Anomalie

Konstruktion zur Keplerschen Gleichung.
Beschriftung englisch:
auxiliary circle – Hilfskreis

Die elliptische Bahnkurve (Orbit) wird um einen Umkreis als Hilfskreis erweitert.

Ein Punkt y auf dem Hilfskreis kann als fiktiver Himmelskörper – ein mittleres Objekt – angesehen werden, der zum Zeitpunkt $t 0$ ebenso wie das wahre Objekt im Periapsis steht, die selbe Umlaufzeit hat, aber mit konstanter Winkelgeschwindigkeit auf einer Kreisbahn umläuft, die den Radius der Ellipsen-Halbachse a hat.

Die mittlere Anomalie M wird als der Winkel zum mittleren Objekt im Hilfskreis-Mittelpunkt c im Bezug zum Periapsis z definiert:

$M= 2 \pi \frac {t-t_0} {U}$

Dabei ist U die Bahnperiode und t₀ ist der Zeitpunkt zu dem das Himmelsobjekt sich in der Periapsis befindet (die Periapsiszeit). Das Objekt hat zu diesem Zeitpunkt t₀ den geringsten Abstand zu seinem Schwerezentrum. $2π / U$ ist die mittlere Bewegung n.

Nach dem zweiten Keplerschen Gesetz überstreicht der Fahrstrahl vom Objekt zum Schwerezentrum in gleichen Zeiten den gleichen Anteil der Gesamtfläche der Bahn.

Da beide Objekte zur selben Zeit durch die Periapsis gehen, ist die überstrichene Gesamtfläche $π a b$ für P und $π a 2$ für y.

Die Definition des mittleren Objekts y besagt also, das sein Fahrstrahl $\overline {cy}$ im Verhältnis dieselbe Fläche überstreicht wie der Fahrstrahl $\overline {sP}$ des Köpers P:

$\frac{\mbox{area }cyz}{\mbox{area }sPz} = \frac{\pi a^2}{\pi a b} = a/b$

[Bearbeiten] Die exzentrische Anomalie

Ein Hilfspunkt x ist die Projektion von P auf den Hilfskreis.

Die exzentrische Anomalie E ist der Winkel im Mittelpunkt c vom Periapsis z zu x.

Der Normalabstand von x zur Linie $\overline {cz}$ ist also um den Faktor $a / b$ größer als der Abstand des Objekts P, und daher auch die von der Verbindungsline vom Schwerezentrum s zu x überstrichene Fläche um den Faktor $a / b$ größer als die vom Fahrstrahl $\overline {sP}$ überstichene Fläche.

$\mbox{area }sxz = \frac ab\mbox{area }sPz$

Der Hilfspunkt ist also so konstruiert, dass er immer dieselbe Fläche wie das mittlere Objekt überstreicht:

area s x z = area c y z

[Bearbeiten] Die Keplergleichung

Wenn der Fahrstrahl von y nun in einer Periode U den Winkel $2π$ zurücklegt und die Fläche $π a 2$ überstreicht, hat er zum Zeitpunkt $t 0$ beim Winkel $M$ eine um den Faktor $M / 2π$ kleinere Fläche überstrichen, und da auch x als Projektion zum Zeitpunkt $t 0$ durch z läuft:

$\mbox{area }cyz = {a^2 \over 2} M$ und $\mbox{area }cxz = {a^2 \over 2} E$

Das Dreieck cxs besteht aus der Grundlinie $a \cdot e$ (mit der numerischen Exzentrizität e der Ellipse, die den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt im Verhältnis zur großen Halbachse gibt, und in diesem steht nach dem ersten Keplergesetz das Schwerezentrum) und der Höhe $a \cdot \sin E$ :

$\mbox{area }cxs = \frac{a^2}{2} e \sin E$

Durch Zerlegung der Flächen und der Definition von y und x folgt also:

area c x z = area c x s + area s x z

= area c x s + area c y z

also

$\frac{a^2}2E=\frac{a^2}{2} e \sin E+\frac{a^2}2M$

Daraus leitet sich schließlich die Kepler-Gleichung ab:

$E - e \cdot \sin E = M$

Für diese Ableitung werden nur die Keplerschen Gesetze benötigt. Diese Gesetze können, wie Isaac Newton später zeigen konnte, aus den Gravitationsgesetzen abgeleitet werden, die Kepler jedoch nicht bekannt waren.

Kepler selbst bezeichnete M als „mittlere Bewegung“, und E − e·sinE als „mittlere Anomalie“

[Bearbeiten] Berechnung der exzentrischen Anomalie

Die Größe E(t) kann als Nullstelle der Funktion der Keplergleichung betrachtet werden:

$f(E) = E - e \cdot \sin E - 2 \pi \frac {t-t_0} {U}$

Die Nullstelle kann etwa mit dem Newton-Verfahren numerisch berechnet werden.

Eine stabileres, aber langsamer konvergierendes Verfahren beruht auf dem Banachschen Fixpunktsatz:

$E_n = M + e \cdot \sin E_{n-1}; ~ E_0 = M$ ^[1]

Für kleine Exzentrizität e kann E auch folgendermaßen approximiert werden:

$E = M + e \cdot \sin M + {1 \over 2} e^2 \cdot \sin 2M$ ^[2]

Der Fehler ist hierbei eine Funktion in $e 3$ . Bei der Erde und ihrer Exzentrizität e = 0,0167 liegt der Fehler für begrenzte Zeiträume also hinter der 5. Kommastelle.

[Bearbeiten] Die wahre Anomalie

Die gesuchte wahre Anomalie T zu einem Zeitpunkt t lässt sich aus E berechnen:

$\tan \frac{T}{2} = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \cdot \tan \frac{E}{2}$

[Bearbeiten] Der Radius

Hieraus kann dann z. B. die Entfernung des Trabanten für eine Zeit t bestimmt werden:

$r = r(T(t)) = a \cdot \frac{(1-e^2)}{1+e \cdot \cos T}$

r = Entfernung

a = große Halbachse der Ellipse

e = Numerische Exzentrizität

T = wahre Anomalie

[Bearbeiten] Siehe auch

[Bearbeiten] Literatur

Andreas Guthmann: Einführung in die Himmelsmechanik und Ephemeridenrechnung. BI-Wiss.-Verl., Mannheim 1994, ISBN 3-411-17051-4

[Bearbeiten] Einzelnachweise

↑ §II.6.67 Numerische Verfahren. Guthmann, S. 128f
↑ §II.6.66 Reihenentwicklung der exzentrischen Anomalie. Guthmann, S. 125ff

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Kategorie: Himmelsmechanik