Kegel (Lineare Algebra)

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Du hast neue Nachrichten (Unterschied zur vorletzten Version).

In der linearen Algebra ist ein (linearer) Kegel eine Teilmenge eines Vektorraums, die abgeschlossen bzgl. Multiplikation mit positiven Skalaren ist.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Spitze und stumpfe Kegel
3 Konvexer Kegel
4 Affiner Kegel
5 Eigenschaften
6 Kegelhülle
7 Siehe auch

[Bearbeiten] Definition

Eine Teilmenge C eines reellen Vektorraums V ist ein (linearer) Kegel genau dann, wenn $\lambda x \in C$ für alle Elemente x von C und für ein beliebiges nichtnegatives Skalar $λ$ von V. Eine alternativ Darstellung der Definition ist $\lambda C \subseteq C \forall \lambda \in \mathbb{R}_0^+$ .

Diese Definition macht für jeden Vektorraum Sinn, die über einem geordnetem Körper definiert ist, wo man also von größer und kleiner Null sprechen kann. Dazu gehören unter anderem die reellen Zahlen oder auch die rationalen Zahlen.

[Bearbeiten] Spitze und stumpfe Kegel

Ein Kegel C heißt spitz, wenn er den Ursprung enthält, andernfalls stumpf. Stumpfe Kegel sind nur unter der Multiplikation mit positiven Skalaren abgeschlossen.

[Bearbeiten] Konvexer Kegel

Ein konvexer Kegel ist ein Kegel, welcher unter Konvexkombinationen abgeschlossen ist. K ist also konvexer Kegel genau dann, wenn $\forall x,y \in K, \alpha,\beta \in \mathbb{R}_0^+, \alpha + \beta = 1: \alpha x + \beta y \in K$ .

Konvexe Kegel spielen eine wichtige Rolle in der Optimierung.

[Bearbeiten] Affiner Kegel

Wenn C - v für ein v aus V ein Kegel ist, so nennt man C (affinen) Kegel mit Spitze v.

[Bearbeiten] Eigenschaften

Der Schnitt zweier Kegel ist wieder ein Kegel
Das Komplement eines Kegels ist wieder ein Kegel

[Bearbeiten] Kegelhülle

Die Kegelhülle cone(X) einer beliebigen Menge $X \subset V$ ist definiert durch $\operatorname{cone}(X) := \{\lambda x: \lambda \in \mathbb{R}_0^+, x \in X\}$ .