Integralgleichung

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Eine Gleichung wird in der Mathematik Integralgleichung genannt, wenn darin die unbekannte Funktion in einem Integral vorkommt. Integralgleichungen können in Natur und Technik zur Beschreibung verschiedener Phänomene verwendet werden.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Klassifizierung
3 Kompakte Operatoren
4 Dualität von Integral- und Differentialgleichung

[Bearbeiten] Definition

Eine lineare Integralgleichung ist eine Gleichung für eine unbekannte Funktion $u (x)$ und hat für $x \in \Omega$ die Form

$\lambda(x) u(x) + \int_\Omega k(x,y) u(y)\, dy = f(x)$

Hier sind $λ(x)$ , $f (x)$ und $k (x, y)$ gegebene Funktionen, $\Omega \subseteq \mathbb{R}$ sei kompakt. Die Funktion $k (x, y)$ wird Kern genannt. Nichtlineare Gleichungen können noch komplizierter sein, z.B. kann die Funktion $u (x)$ im Kern vorkommen $k (x, y, u (x))$ .

[Bearbeiten] Klassifizierung

Lineare Integralgleichungen kann man einteilen in

Integralgleichungen 1. Art wenn $\lambda(x) \equiv 0$ ,
Integralgleichungen 2. Art wenn $\lambda(x) \equiv \lambda \in \mathbb{C} \setminus \{ 0 \}$ ,
Integralgleichungen 3. Art wenn $λ(x)$ beliebig ist.

Diese Einteilung erscheint willkürlich, ist aber aufgrund der unterschiedlichen analytischen Eigenschaften der jeweiligen Arten von Integralgleichungen notwendig. So sind beispielsweise Integralgleichungen 2. Art (unter schwachen Voraussetzungen an den Kern $k (x, y)$ ) für fast alle Werte von $λ$ eindeutig lösbar und die Lösung hängt stetig von $f$ ab. Dies gilt für Integralgleichungen 1. Art (unter denselben Voraussetzungen an den Kern) im allgemeinen nicht. Integralgleichungen 1. Art sind fast immer inkorrekt gestellte Probleme (Beispiel: Laplace-Transformation; eine der wenigen Ausnahmen: Fourier-Transformation).

Eine weitere Einteilung beruht auf Eigenschaften des Kerns k(x,y). Hier gibt es schwach singuläre und stark singuläre Integralgleichungen.

Außerdem kann man Integralgleichungen nach ihren Integrationsgrenzen klassifizieren. Sind alle Grenzen konstant, so spricht man von Fredholm-Integralgleichungen, ist eine der Grenzen variabel, so nennt man die Gleichung eine Volterra-Integralgleichung.

[Bearbeiten] Kompakte Operatoren

Mit $(K u)(x) = \int_\Omega k(x,y) u(y)\, dy$ wird für einen hinreichend integrierbaren Kern k(x,y) ein linearer Operator $K$ definiert. Wesentlich für die Theorie der (nicht stark singulären) Integralgleichungen ist die Theorie der kompakten Operatoren. Diese Theorie ähnelt in gewisser Weise der von linearen Gleichungen im Endlichdimensionalen. Kompakte Operatoren haben nämlich im wesentlichen pure Eigenwertspektren (Genauer: Das Spektrum besteht, evtl. von der Null abgesehen, nur aus Eigenwerten und diese häufen sich in höchstens einem Punkt, der Null. Alle Eigenräume (evtl. von dem der Null abgesehen) sind endlichdimensional).

[Bearbeiten] Dualität von Integral- und Differentialgleichung

Integraloperatoren treten oft (aber nicht ausschließlich) bei der Lösung von Differentialgleichungen auf, zum Beispiel bei Sturm-Liouville-Problemen, oder bei partiellen Differentialgleichungen in Form der Greenschen Funktion. Falls in der Gleichung zusätzlich noch eine Ableitung der Funktion vorkommt, spricht man von Integro-Differentialgleichungen

Siehe auch: Funktionalanalysis.

Von „http://de.wikipedia.org../../../i/n/t/Integralgleichung.html“

Kategorie: Funktionalanalysis