Hypergeometrische Differentialgleichung
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Die Hypergeometrische Differentialgleichung ist eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung der Form:
.
Ist 
so erhält man mit einem Potenzreihenansatz 
die Rekursionsformel für die Lösung:
.
Setzt man z.B. a0 = 1, so erhält man als Lösung die Hypergeometrische Reihe:
Diese Potenzreihe besitzt den Konvergenzradius R = 1.
Mit der Hypergeometrischen Funktion F(α,β,γ,z) können viele andere Funktionen dargestellt werden:
| α | β | γ | z | F(α,β,γ,z) |
| 1 | β | β | x | 1 / (1 − x) |
| − p | 1 | 1 | − x | (1 + x)p |
 |
|
 |
x2 |  |
| 1 | 1 | 2 | x |  |
| 1 |  (*) |
1 |  |
exp(x) |
| n + 1 | − n | 1 |  |
 (**) |
(*)Es muss der Grenzwert gebildet werden.
(**)Das n-te Legendre-Polynom (
)
Die Hypergeometrische Differentialgleichung kann noch verallgemeinert werden zur Heunschen Differentialgleichung
[Bearbeiten] Konfluente Hypergeometrische Differentialgleichung
Diese Differentialgleichung besitzt die Form:
- zu'' + (β − z)u' − αu = 0
Für 
wird die Differentialgleichung durch die Kummersche Funktion, benannt nach Ernst Eduard Kummer:
gelöst.
