Hilbertprogramm

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Du hast neue Nachrichten (Unterschied zur vorletzten Version).

Das Hilbertprogramm ist ein Forschungsprogramm, das der Mathematiker David Hilbert vorschlug und darauf zielt, die Widerspruchsfreiheit der Axiomensysteme der Mathematik nachzuweisen. Bereits Hilberts Liste von 23 mathematischen Problemen aus dem Jahr 1900 nennt die Widerspruchsfreiheit der Arithmetik als zweites ungelöstes Problem und regte zur Forschung in diese Richtung an. Das eigentliche Hilbertprogamm mit konkreten Methoden zur Lösung der Widerspruchsproblematik formulierte er aber erst in den Jahren 1920-1922.

Hilbert reagierte damit auf die Antinomien, die sich aus der Cantorschen Mengenlehre ergeben hatten und insbesondere von Bertrand Russell aufgezeigt worden waren. Hilbert wollte versuchen, die gesamte „klassische“ Mathematik und Logik zu bewahren, ohne dabei auf die imprädikative Mengenlehre zu verzichten. Zitat:

Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können.

Hilbert erkannte aber an, dass einige klassische Beweismethoden wie die reductio ad absurdum, die das tertium non datur unterstellen, als fragwürdig nachgewiesen waren. Auch das Auswahlaxiom wurde von den Intuitionisten nicht akzeptiert. Hilbert wollte die Mathematik als formales System neu definieren. Innerhalb dieses Systems sollten die üblichen Beweismethoden zulässig sein. Zitat:

Den Mathematikern den Satz vom ausgeschlossenen Dritten wegzunehmen wäre das gleiche, wie dem Astronomen das Teleskop oder dem Boxer die Benutzung seiner Fäuste zu verbieten.

Diese Vorgehensweise sollte aber dadurch abgesichert werden, dass außerhalb des „formalen Systems“, im Bereich der Metamathematik, die Widerspruchsfreiheit der formal herleitbaren Sätze nachgewiesen wird. Für diesen Nachweis wollte Hilbert nur finite Methoden zulassen, also Argumentationen, die erhaben sind über jeden Verdacht, Antinomien zu ermöglichen.

Das Ziel des Programmes war es also, einen Kalkül bzw. ein Axiomensystem zu finden, das die Mathematik und Logik auf eine gemeinsame, nachweisbar konsistente Basis stellt. Insbesondere sollte der Kalkül mächtig genug sein, um für jeden mathematischen Satz beweisen zu können, ob er wahr oder falsch ist, und alle wahren Sätze sollten aus dem System ableitbar sein. Das System musste also widerspruchsfrei und vollständig sein. Ferner sollten die Axiome so einfach sein, dass sie unmittelbar als wahr zu erkennen sind.

Das Hilbertprogramm fand breite Beachtung in der Mathematik und viele bekannte Logiker und Mathematiker beteiligten sich daran, unter anderem Paul Bernays, Wilhelm Ackermann, John von Neumann und Jacques Herbrand. Sie zeigten die Widerspruchsfreiheit für zentrale Teilgebiete der Logik, nämlich die klassische Aussagenlogik und Prädikatenlogik.

Das Hilbertprogramm, bezogen auf die ganze Mathematik, schlug allerdings fehl: Der österreichische Mathematiker Kurt Gödel bewies, dass es in einem hinreichend mächtigen System immer Sätze gibt, die mit den Mitteln des selben Systems weder bewiesen noch widerlegt werden können (siehe Gödelscher Unvollständigkeitssatz). Der Brite Alan Turing kam in Bezug auf das eng verwandte Halteproblem von Automaten auf ein ähnliches Ergebnis.

Diese Erkenntnis erschütterte das Gebäude der Mathematik nachhaltig und führte zu einiger Verunsicherung. Dennoch war der Fehlschlag des Hilbertprogramms ein enormer Erfolg für Mathematik und Logik, da sie zu tieferen Erkenntnissen darüber führte, wie formale Systeme funktionieren und was sie vermögen. Viele wichtige Gebiete der modernen Mathematik und Informatik sind aus dem Hilbertprogramm hervorgegangen, insbesondere die Mengenlehre und die Berechenbarkeitstheorie.