Gerichtete Menge

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In der Mathematik heißt eine nicht-leere Menge $X$ genau dann gerichtete Menge, wenn auf ihr eine Relation " $\triangleleft$ " (Sprechweise: Richtung) erklärt ist, die folgenden Axiomen genügt:

$\begin{matrix} (R1)& \forall x \in X: x \triangleleft x & (\mathrm{Reflexivit\ddot at}) \\ (R2)& \forall x,y,z \in X: (x \triangleleft y) \and (y \triangleleft z) \Rightarrow (x \triangleleft z) & (\mathrm{Transitivit\ddot at}) \\ (R3)& \forall x,y \in X: \exists z \in X: (x \triangleleft z) \and (y \triangleleft z) & (\mbox{Schreibweise: } \mathit{x,y \triangleleft z}) \\ \end{matrix}$

Um die Richtung hervorzuheben (auf einer Menge können durchaus mehrere Richtungen erklärt sein) nennt man auch das geordnete Paar $\left(X,\triangleleft \right)$ gerichtete Menge. Sprechweise für $x \triangleleft y$ ist "x vor y" oder auch "y nach x". Unter $y \triangleright x$ versteht man $x \triangleleft y$ .

[Bearbeiten] Anschauliche Deutung

Das eigentliche Richtungsaxiom ist (R3); es erlaubt an jedem Punkt $x$ der Menge $X$ einen weiteren Punkt $z$ zu finden, der "hinter" $x$ liegt (Man setze dazu $y\,:=x$ in (R3)). Damit kann man in $X$ einen "Kurs" einschlagen: dazu wähle man einen Punkt $x 0$ aus (ein solcher existiert, da $X$ nicht leer ist), zu diesem bestimme man mit (R3), nach Obigem, einen Punkt $x 1$ . Zu diesen beiden bestimme man wieder mit (R3) einen Punkt $x 2$ . Zu $x 1, x 2$ bestimme man $x 3$ . Induktiv fortfahrend, bestimmt man so eine Folge $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ mit $x_0 \triangleleft x_1 \triangleleft x_2 \triangleleft \cdots x_n \triangleleft \cdots$ .

[Bearbeiten] Beispiele

$X \subseteq \mathbb{C}^n; \, \rho \in \mathbb{C}^n\ \mathrm{fest}; \, \forall x,y \in X: (x \triangleleft y) :\Leftrightarrow \left\| y - \rho \right\| \le \left\| x - \rho \right\| \quad$

(Sprechweise: "

X

ist auf

ρ

gerichtet", "

ρ

ist Richtungszentrum von

X

") Man kann durch diese Richtung den Grenzwert einer Funktion $f: X \to \mathbb{C}^m$ für $x \to \rho$ als (Netz)Konvergenz des zugehörigen Netzes auffassen.

$X = \mathbb{N}; \, \forall n,m \in X: (n \triangleleft m) :\Leftrightarrow n \leq m$

$X = \mathbb{R}; \, \forall x,y \in X: (x \triangleleft y) :\Leftrightarrow x \leq y$
Mit Hilfe dieser gerichteten Mengen lassen sich Grenzwerte von Funktionen bzw. Folgen für $x \mbox{ bzw. } n \to \infty$ , ähnlich dem ersten Beispiel, als (Netz)Konvergenzen ihrer zugehörigen Netze auffassen.

$X = \mathbb{N}^2; \, \forall (n,m),(p,q) \in X: ((n,m) \triangleleft (p,q)) :\Leftrightarrow (n \leq p) \and (m \leq q)$
Mit dieser Richtung auf $\mathbb{N}^2$ lässt sich Konvergenz von Doppelfolgen, wiederum als Netzkonvergenz, definieren.