Frenetsche Formeln

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Die frenetschen Formeln (Frenet-Formeln), benannt nach dem französischen Mathematiker Jean Frédéric Frenet, sind die zentralen Gleichungen in der Theorie der Raumkurven, einem wichtigen Teilgebiet der Differentialgeometrie. Die Formeln verwenden eine Orthonormalbasis aus drei Vektoren, die das lokale Verhalten der Kurve beschreiben, und drücken die Ableitungen dieser Vektoren als Linearkombinationen der genannten drei Vektoren aus.

Gegeben sei eine durch die Bogenlänge $s$ natürlich parametrisierte Raumkurve:

$\vec{r} = \vec{r}(s)$

Für einen Kurvenpunkt $\vec{r}(s)$ erhält man durch Ableiten nach $s$ den Tangenteneinheitsvektor, der die momentane Richtung der Kurve, also die Änderung der Position bei einer Änderung der Bogenlänge, angibt:

$\vec{t}(s) = \vec{r}\,'(s)$

Da der Tangenteneinheitsvektor mit $s$ seine Richtung ändert, ergibt der Betrag der Ableitung von $\vec{t}(s)$ – die Änderung der Richtung über der Bogenlänge – die Krümmung $\kappa(s)\,$ bzw. das Reziproke des Krümmungsradius $\varrho(s)$ :

$\kappa(s)=\frac{1}{\varrho(s)}=|\vec{t}\,'(s)|=|\vec{r}\,''(s)|$

Normalisierung von $\vec{t}\,'(s)$ liefert den Hauptnormaleneinheitsvektor $\vec{n}(s)$ (Krümmungsvektor), der sich ebenfalls auf einfache Weise geometrisch deuten lässt: Man betrachtet den sogenannten Schmiegkreis, also den Kreis, der durch den gegebenen Kurvenpunkt geht, dort die gleiche Richtung hat wie die Kurve und auch in der zweiten Ableitung mit der Kurve übereinstimmt. Der Hauptnormaleneinheitsvektor gibt nun die Richtung der Verbindungsgeraden von Kurvenpunkt und Schmiegkreismittelpunkt an. Der Krümmungsvektor $\vec{n}(s)$ zeigt also in die Richtung, in die sich $\vec{t}(s)$ ändert, daher sind beide orthogonal zueinander.

$\vec{n}(s) = \frac{\vec{t}\,'(s)}{|\vec{t}\,'(s)|} = \frac{ \vec{r}\,''(s)}{|\vec{r}\,''(s)|} = \varrho(s) \, \vec{t}\,'(s) = \varrho(s) \, \vec{r}\,''(s)$ .

Beide Vektoren spannen eine Ebene auf, die sogenannte Schmiegungsebene. Deren Normalenvektor wird mit Hilfe des Vektorprodukts festgelegt und heißt Binormaleneinheitsvektor:

$\vec{b}(s) = \vec{t}(s) \times \vec{n}(s)$

Tangenten-, Hauptnormalen- und Binormaleneinheitsvektor bilden eine Orthonormalbasis des $\mathbb{R}^3$ , d.h. diese Vektoren haben alle den Betrag 1 und sind paarweise senkrecht zueinander. Man bezeichnet diese Orthonormalbasis auch als begleitendes Dreibein der Kurve. Die frenetschen Formeln drücken die Ableitungen der genannten Basisvektoren als Linearkombinationen dieser Basisvektoren aus: