Freier Fall

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Als Freier Fall ist die durch die Erdanziehungskraft, sog. Gravitation, bewirkte Bewegung eines Körpers frei vom Einfluss weiterer Kräfte definiert (siehe auch Schwerelosigkeit).

Beim freien Fall wird ausschließlich die Fallbeschleunigung wirksam. Dies ist in der Natur nur im Vakuum möglich, da ansonsten zusätzlich Widerstandskräfte des jeweiligen Mediums wirksam werden. Technisch lässt sich ein solcher Zustand aber auch künstlich erreichen, indem auf Parabelflügen der Einfluss der Luftreibung durch genaue Regulierung der Triebwerksleistung ausgeglichen wird.

Der griechische Philosoph Aristoteles (384–322 v. Chr.) beschäftigte sich mit der Bewegung von Körpern. Nach seiner Meinung bewegten sich schwere Körper nach unten, leichte wegen "ihrer Leichtigkeit" nach oben. Schwere Körper müssten daher schneller zu Boden fallen als weniger schwere. Auch war er der Meinung, ein Körper bewege sich während des Falles mit gleich bleibender Geschwindigkeit. Diese Auffassungen wurden sowohl bei den spätantiken Gelehrten wie auch bei den arabischen und denen der Scholastik nicht ernsthaft in Zweifel gezogen.

Galileo Galilei (1564–1642) erkannte 1590 die Gesetze des Freien Falls: Alle Körper fallen im Vakuum unabhängig von ihrer Gestalt, Zusammensetzung und Masse gleich schnell. Ihre Fallgeschwindigkeit ist proportional zur Fallzeit, der Fallweg proportional zum Quadrat der Fallzeit. Die Beschleunigung ist dabei am selben Ort für alle Körper gleich groß. Er versuchte durch Experimente die Fallbeschleunigung festzustellen. Er hatte jedoch noch keinen genauen Zeitmesser und "verlangsamte" Bewegungen, indem er eine Kugel eine sog. Fallrinne hinunterlaufen ließ. Als Zeitmesser hatte er einen Eimer voll Wasser. Ein kleiner Wasserstrahl ergoss sich in einen Becher, und die Wassermenge während der Fallzeit wurde auf einer genauen Waage gewogen. Dass er den freien Fall auch an einem Beispiel erklärte, in dem er 2 Objekte vom Turm zu Pisa fallen ließ, ist eine Legende.

Erst Robert Boyle bestätigte 1659, dass Körper unterschiedlicher Masse im Vakuum gleich schnell fallen.

Isaac Newton (1643 - 1727) formulierte dann das Gravitationsgesetz, welches nicht nur den freien Fall auf der Erde erklärt, sondern auch die Umlaufbahnen von Mond und Planeten als Fallphänomene beschreibt.

Die allgemeine Formel für den freien Fall lautet (im Vakuum bzw. ohne Berücksichtigung der Luftreibung):

$h(t)=h_0-\frac{1}{2}gt^2$

wobei h die Höhe des Körpers zur Zeit t bezeichnet, $h 0$ die Ausgangshöhe und g die Fallbeschleunigung durch die Erdanziehungskraft. (Das Minuszeichen bezieht sich auf einen abwärts fallenden Körper.) Die Strecke s, die der Körper fallend zurückgelegt hat, ist demnach

$s(t)=|h(t)-h_0|=\frac{1}{2}gt^2$

Inhaltsverzeichnis

1 Erdnaher Freier Fall
2 Differentialgleichungen des freien Falls
3 Siehe auch
4 Weblinks

[Bearbeiten] Erdnaher Freier Fall

Auf der Erdoberfläche schwankt der Betrag der Fallbeschleunigung wegen der Erdabplattung und der Erdrotation in Meereshöhe zwischen ca. 9,78 m/s² (Äquator) und 9,83 m/s² (Pole). Zusätzlich ist sie von der Höhe über Normal-Null abhängig (siehe auch Ortsfaktor). Die Normal-Fallbeschleunigung legt DIN 1305 als g = 9,80665 m/s² fest.

Der Wert für die Erdbeschleunigung wird mit g = 9,81 m/s² allgemein angegeben. D.h., beim Freien Fall in Erdnähe vergrößert sich die Geschwindigkeit v eines aus dem Ruhezustand beschleunigten Körpers um 9,81 m/s pro Sekunde. Der Freie Fall ist damit eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung.

Beispiel zu freiem Fall:

Ein Fallschirmspringer, der sich aus einem stationären Ballon fallen lässt, wird zunächst immer schneller, seine Geschwindigkeit nimmt stetig zu. Seine Beschleunigung ist dabei größer als die eines Autos: Nach einer Sekunde hat er theoretisch eine Geschwindigkeit von v = 9,81 m/s (ca. 35 km/h), nach zwei Sekunden 19,62 m/s (ca. 71 km/h), nach drei Sekunden 29,43 m/s (ca. 106 km/h). Befände sich der Fallschirmspringer in einem echten Freien Fall, d.h. im Vakuum, so würde die Geschwindigkeit linear weiter entsprechend ansteigen. In der Praxis befindet sich der Fallschirmspringer jedoch nicht im Vakuum, sondern fällt durch Luft. Die vorstehenden Zahlenwerte sind daher nur Näherungen, die wiederum nur etwa während der ersten beiden Sekunden wirklich verwendbar sind. Danach wird der Einfluss des quadratisch mit der Geschwindigkeit ansteigenden Luftwiderstandes zu groß. Die praktische Beschleunigung nimmt deutlich immer schneller ab (d.h. die Geschwindigkeit nimmt weniger schnell zu). Nach etwa 7 s ist schließlich die Fallgrenzgeschwindigkeit des menschlichen Körpers von ca. 55 m/s (ca. 198 km/h) erreicht: die Geschwindigkeit des Fallschirmspringers im Freifall nimmt (bei gleicher Lage) im Gegensatz zu einem echten Freien Fall nun nicht mehr zu, weil sich Luftwiderstand und Fallbeschleunigung gegenseitig aufheben.

Die hier als Freifallgrenzgeschwindigkeit bezeichnete Höchstgeschwindigkeit von 198 Km/h ist allerdings keinesfalls die maximale Geschwindigkeit, die ein Fallschirmspringer bekommen kann, sondern nur diejenige Höchstgeschwindigkeit, die bei Einnahme der aus Bildern bekannten X-Lage erreicht wird. Die Geschwindigkeitsrekorde, die kopfüber aufgestellt werden, liegen bei knapp über 500 km/h.

[Bearbeiten] Differentialgleichungen des freien Falls

[Bearbeiten] Freier Fall ohne Reibung

$m\ddot z = mg$

Division durch m und einmalige Integration führt zu

$\dot z=gt+v_0$

mit der Integrationskonstante $v o$ als Anfangsgeschwindigkeit

Nochmalige Integration ergibt schließlich

$z(t)=\frac{1}{2}gt^2 + v_0t + z_0$

mit der Integrationskonstanten $z 0$ als Anfangsweg.

[Bearbeiten] Freier Fall mit Stokes-Reibung

Bei kleinen Geschwindigkeiten ist die Reibung proportional zur Fallgeschwindigkeit:

$\vec F_R\sim -\vec v$

oder

$\vec F_R = -\beta \vec v$

Die Differentialgleichung für die z-Komponente lautet somit

$m\ddot z=mg-\beta \dot z$

wobei man wegen $\dot z = v$ auch schreiben kann:

$m\dot v = mg-\beta v$

Schreibt man nun $\dot v$ als $\frac{dv}{dt}$ und löst die Gleichung nach dem Differential $d t$ auf, so ergibt sich:

$dt = \frac{m\,dv}{mg-\beta v}$

Integration dieser Gleichung führt auf

$t-t_0 = \int_{v_0}^{v} \frac{m\,dv}{mg-\beta v}$

Mit den speziellen Anfangsbedingungen $v (t = 0) = v 0 = 0$ :

$t=\int_{0}^{v} \frac{m\,dv}{mg-\beta v}$

Dieses Integral lässt sich lösen durch die Substitution

$mg - \beta v = u \,$

und

$dv =-\frac{du}{\beta}$

Somit ergibt sich

$t = -\frac{1}{\beta} \int_{u(0)}^{u(v)} \frac{m\,du}{u}$

und folglich

$-\beta t/m = \ln \frac{u(v)}{u(0)}=\ln \frac{mg-\beta v}{mg}=\ln \left(1-\frac{\beta v}{mg}\right)$

Exponieren und Auflösen dieser Gleichung nach v ergibt dann:

$v=v(t)= \frac{mg}{\beta}\left(1-e^{-\beta t/m}\right)$

Offensichtlich ist

$\lim_{t \to \infty}v(t)=v_{\infty}=\frac{mg}{\beta}$

die Grenzgeschwindigkeit, die sich einstellt, wenn Gravitationskraft und Reibungskraft sich schließlich die Waage halten. Dieses Ergebnis passt besser zu unserer Alltagserfahrung, in der die Fallgeschwindigkeit – wegen des Luftwiderstands – von der Masse des fallenden Körpers abhängt.

Nochmalige Integration von $v (t)$ mit der Anfangsbedingung $z (t 0 = 0) = z 0 = 0$ ergibt schließlich das Weg-Zeit-Gesetz für den freien Fall mit Stokes-Reibung:

$z(t) = \frac{mg}{\beta}\left(t - \frac{m}{\beta}\left(1 - e^{-\frac{\beta}{m}t}\right)\right).$

Siehe auch: Gesetz von Stokes

[Bearbeiten] Freier Fall mit Luftwiderstand $F = k v 2$

Aus dem Kräfteansatz $m a = m g - k v 2$ entsteht die Differentialgleichung

$m \frac{dv}{dt} + k v^2 = m g$

Die Differentialgleichung ist lösbar und liefert für die Geschwindigkeit folgendes Ergebnis:

$v(t) =\sqrt{mg\over k}\tanh( \sqrt{kg\over m}\cdot t)$ , wobei $\sqrt{mg\over k}$ die Grenzgeschwindigkeit bzw. Endgeschwindigkeit ist. tanh ist der Tangens Hyperbolicus.

Die Konstante k ist von der Form des Körpers und von der Dichte des strömenden Mediums (z.B. Luft) abhängig. Es gilt : $k = 0.5 c w A ρ$ . Hierbei ist $c w$ der Widerstandsbeiwert, A die Körperquerschnittsfläche und $ρ$ die Dichte des strömenden Mediums.

[Bearbeiten] Siehe auch

[Bearbeiten] Weblinks

Freier Fall eines Bleizylinders und einer Feder im Vakuum im Vergleich (Experiment mit Video)
Freier Fall eines Hammers und einer Feder auf dem Mond (Video der Apollo 15-Mission, englisch)

Von „http://de.wikipedia.org../../../f/r/e/Freier_Fall_a5e4.html“

Kategorie: Mechanik

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