Formel von Faà di Bruno

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Die Formel von Faà di Bruno ist Formel der Analysis, welche von dem heiliggesprochenen Mathematiker Francesco Faà di Bruno gefunden wurde.

Mit ihr lassen sich höhere Ableitungen von komponierten Funktionen bestimmen.

[Bearbeiten] Formulierung

Sind $f\,$ und $g\,$ zwei $n\,$ -mal differenzierbare Funktionen die von einer Variablen abhängen

und ist $D\,$ der Differentialoperator nach dieser Variablen so gilt:

$D^n (f \circ g)=\sum\frac{n!}{k_1! \cdots k_n!} \, (D^{k_1+...+k_n} f)(g) \left(\frac{D g}{1!}\right)^{k_1} \left(\frac{D^2 g}{2!}\right)^{k_2} \cdots \left(\frac{D^n g}{n!}\right)^{k_n}$

Summiert wird hierbei über alle nichtnegativ ganzzahligen Tupel $(k_1,...,k_n)\,$ mit $1k_1+2k_2+...+nk_n=n\,$ .

Das heißt die Summe erstreckt sich über alle Partitionen von $n\,$ . Die Anzahl der Summanden ist daher die n-te Partitionszahl.

Symbolisch lässt sich die Formel auch in folgender Form schreiben:

$D^n (f\circ g)=\sum_{\sum\limits_{m=1}^n m\, k_m=n} {n \choose k_1,...,k_n} \left(D^{\sum\limits_{m=1}^n k_m} f\right)\!\!(g)\, \prod_{m=1}^n \left(\frac{D^m g}{m!}\right)^{k_m}$

[Bearbeiten] Analogie zur Regel von Leibniz

So wie die Regel von Leibniz die Produktregel auf höhere Ableitungen verallgemeinert

so verallgemeinert die Formel von Faà di Bruno die Kettenregel auf höhere Ableitungen. Letztere Formel ist jedoch beweis- und rechentechnisch weitaus schwieriger.

Bei der Leibniz Regel treten nur $n\,$ Summanden auf wohingegen bei der Faà di Brunoschen Formel mit der $n\,$ -ten Partitionszahl $P(n)\,$ deutlich mehr Summanden auftreten.

[Bearbeiten] Aussehen bei kleiner Ableitungsordnung

Schreibt man die Formel für die ersten natürlichen Zahlen aus so sieht man dass die Ausdrücke sehr schnell lang und unhandlich werden.

$D(f\circ g)=f'(g)\, g'$

$D^2 (f\circ g)=(g')^2\, f''(g)+f'(g)\, g''$

$D^3 (f\circ g)=3\, g'\, f''(g)\, g''+(g')^3 f'''(g)+f'(g)\, g^3$

[Bearbeiten] Anwendungsbeispiel

Mit Hilfe der Formel lässt sich die Koeffizienten in der Reihenentwicklung der Gammafunktion symbolisch angeben. Es ist

$\Gamma(x)=\frac{\Gamma(1+x)}x=\frac1x \sum_{n=0}^\infty \frac{D^n \Gamma(1)}{n!} x^n$

Dabei ist nach Faà di Bruno

$D^n \Gamma(1)=D^n e^{\ln \Gamma (1)}=\sum {n \choose k_1,...,k_n}\, \Gamma(1) \, \prod_{m=1}^n \left(\frac{D^m \ln \Gamma(1)}{m!}\right)^{k_m} =\sum {n \choose k_1,...,k_n} (-\gamma)^{k_1} \prod_{m=2}^n \left((-1)^m\frac{\zeta(m)}{m}\right)^{k_m}$