Fehlerintegral

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Das Gauß'sche Fehlerintegral (nach Carl Friedrich Gauß) wird auch Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion $Φ$ genannt. Es ist das Integral von $-\infty$ bis $z$ über die sog. Gauß'sche Normalverteilung (hier mit μ = 0 und σ = 1). Da die gesamte Fläche unterhalb der Normalverteilung (auch Gauß-Glocke genannt) bekanntlich 1 ist, ist der Wert des Gauß'schen Fehlerintegrals für $z\rightarrow\infty$ ebenfalls 1. Das Fehlerintegral definiert sich wie folgt:

$\Phi(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \int_{-\infty}^{z} e^{-\frac{1}{2}t^2} \mathrm{d}t.$

Lässt man das Integral erst bei $0$ statt bei $-\infty$ beginnen, so spricht man von $Φ 0$ :

$\Phi_{0}(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \int_{0}^{z} e^{-\frac{1}{2}t^2} \mathrm{d}t = \Phi(z) - \frac12.$

[Bearbeiten] Zusammenhang zur Gauß'schen Fehlerfunktion

Durch Substitution der o.g. Formeln $(x=\frac{t}{\sqrt{2}})$ und durch passende folgende Umformungen lässt sich aus $Φ$ bzw. $Φ 0$ die Gauß'sche Fehlerfunktion herleiten:

$erfc(z) = 2 \cdot [1-\Phi(\sqrt{2} \cdot z)]$

$erf(z) = 2 \cdot \Phi_{0}(\sqrt{2} \cdot z).$

[Bearbeiten] Anwendung

Das Fehlerintegral gibt an zu welcher Wahrscheinlichkeit ein Wert $\le z$ in einem gaußverteilten stochastischen Prozess (mit $μ = 0$ , $σ = 1$ ) enthalten ist. Umgekehrt kann auch die Wahrscheinlichkeit für einen Wert $\ge z$ ermittelt werden, indem man $\Phi(\infty)-\Phi(z)=1-\Phi(z)$ bildet.

Als elektrotechnisches Beispiel sei ein gaußverteiltes Störrauschen der Streuung $σ = 1,25 V$ angenommen das einem Übertragungskanal überlagert ist. Dieser Kanal arbeite fehlerfrei, solange die Störungen im Bereich -5V...+5V liegen. Es klärt sich nun schnell die Frage, wie wahrscheinlich eine fehlerhafte Übertragung ist:

Wahrscheinlichkeit für einen Rauschwert $\le -5V$ :