Eulersche Gleichungen

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Die Eulerschen Gleichungen oder auch Eulerschen Kreiselgleichungen sind Bewegungsgleichungen für die Rotation eines starren Körpers. Sie sind Differentialgleichungen im Hauptachsensystem mit der Winkelgeschwindigkeit $\vec\omega$ als Variable und den Hauptträgheitsmomenten $I 1, I 2, I 3$ als Koeffizienten.

Die Eulerschen Gleichungen sind nicht zu verwechseln mit den eulerschen Winkeln, die die Lage eines körperfesten Koordinatensystems im Verhältnis zu einem ortfesten Koordinatensystem beschreiben.

[Bearbeiten] Herleitung

Die Eulerschen Gleichungen folgen aus dem Drehimpulssatz.

$\dot \vec L= \bar I \cdot \dot \vec\omega = \vec M.$

Hier ist $\vec L$ der Drehimpuls, $\bar I$ der Trägheitstensor und $\vec M$ die Summe aller von außen auf den Körper wirkenden Drehmomente im Raumfesten Inertialsystem.

Durch Transformation ins Hauptachsensystem wird der im Inertialsystem im Allgemeinen zeitabhängige Trägheitstensor $\bar I$ zeitunabhängig und nimmt die Form

$\bar I_{KS} = \begin{pmatrix} I_1 & 0 & 0 \\ 0 & I_2 & 0 \\ 0 & 0 & I_3 \end{pmatrix}$

an. $\vec \omega$ transformiert sich dabei zu $\vec \omega_{KS} = \omega_1 \vec e_\xi + \omega_2 \vec e_\eta +\omega_3 \vec e_\zeta.$

Der Drehimpuls bekommt dadurch die sehr einfache Form

$\vec L=\bar I_{KS}\cdot\vec\omega_{KS}=\begin{pmatrix} I_1 & 0 & 0 \\ 0 & I_2 & 0 \\ 0 & 0 & I_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}\omega_1 \\ \omega_2 \\ \omega_3 \end{pmatrix}=I_1 \omega_1 \vec e_\xi + I_2 \omega_2 \vec e_\eta +I_3 \omega_3\vec e_\zeta.$

Der Drehimpulssatz wird durch die Transformation des Bezugsystems zu

$\vec M=\dot \vec L + (\vec\omega_{KS} \times \vec L )= \begin{pmatrix}I_1 \dot\omega_1 \\ I_2 \dot \omega_2 \\ I_3 \dot\omega_3 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}(I_3 - I_2) \omega_2\omega_3 \\(I_1 - I_3) \omega_1\omega_3 \\(I_2 - I_1) \omega_1\omega_2 \end{pmatrix}.$