Eulersche Differentialgleichung
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Die Eulersche Differentialgleichung (nach Leonard Euler) ist eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung beliebiger Ordnung der Form
.
Hier ist y(k) die k-te Ableitung von y.
und 
sind bekannt, y(x) wird gesucht. Wie bei allen linearen Differentialgleichungen kann man zuerst die homogene Gleichung mit s(x) = 0 allgemein lösen, die allgemeine Lösung ist dann (allgemeine Lösung der homogenen Lösung) + (eine spezielle (partikuläre) Lösung der inhomogenen Gleichung).
Bei der Lösung der homogenen Gleichung führt der Ansatz y = (cx + d)λ zu einer algebraischen Gleichung in λ. Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung lautet dann
.
wobei die ri beliebige Konstanten und die λi die Lösungen der algebraischen Gleichung sind. Treten beim Lösen der algebraischen Gleichung Mehrfachlösungen auf, so muss man zusätzliche logarithmische Terme einführen:
.
Hier ist M die Anzahl der verschiedenen Lösungen der algebraischen Gleichung für λ, Ri die Vielfachheit der Lösung der algebraischen Gleichung, und rij sind beliebige Konstanten.
Ein alternativer Lösungsweg ist die Transformation auf eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten:
- z(t) = y(x)
- t = ln(cx + d).
