Diskussion:Eulersche Winkel

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Inhaltsverzeichnis 1 Nachteile 2 Herleitung 3 Geschwindigkeit und Beschleunigung 4 zu mathematischen Eigenschaften

[Bearbeiten] Nachteile

Habe ich erstmal so aus dem anderen Artikel übernommen, Sinn erschließt sich mir nicht ganz. Kann das jemand umformulieren? Traitor 17:24, 27. Jan 2006 (CET)

Ich wollte mal kurz darauf hinweisen, dass da was nicht stimmt: Zitat: "Die ausmultiplizierte Gesamtdrehmatrix wird (egal, nach welcher Konvention sie aufgestellt wurde) für den Fall, dass der zweite Euler-Winkel gleich 0 wird, singulär."

Na fein, dann setzt mal alle Euler-Winkel gleich 0, dann ist auf alle Fälle auch der zweite gleich Null (egal welcher jetzt als der 'zweite' angesehen wird). Dann werden alle Cosinüsse:) 1 und alle Sinüsse 0. Es entsteht die Einheitsmatrix und die ist ganz sicher nicht singulär.

[Bearbeiten] Herleitung

Als die Herleitung ist richtig, denn bei der zweiten Drehung geht man ja nicht von ursprüngliche KOOS aus sondern von dem durch die erste Drehung "entstandene" KOOS. Dh. aus sicht des zweiten KOOS ist diese Drehmatix wieder richig, immer aufpassen im welchem KOOS man ist. Im übrigen lässt sich jede "Euler-Drehung" wie z.B. x-y-z mit den Winkeln A,B,C durch eine äquivalente Drehung um die Raumfesten Achsen in umgekehrter Reihenfolge ersetzen, also z-y-x mit den Winkeln C,B,A.

Die Drehmatrix soll doch beschreiben, wie ein beliebiger (im ungedrehten Grundkoordinatensystem gegeben) Vektor verdreht wird, indem man die Drehmatrix von links dranmultipliziert. Das bedeutet, dass in den Spalten der Drehmatrix die neuen Basisvektoren des verdrehten Koordinatensystems stehen. Zum Beispiel bei der Drehung um x um Winkel alpha ergibt sich damit für die neue Y'-Achse der Vektor [0, cos(alpha), sin(alpha)]. Wenn ich jetzt um diese Y'-Achse mit dem Winkel beta drehe und die neue Gesamtdrehmatrix aufstelle, dann beschreiben dort wieder die Spalten die entsprechenden sich durch die beiden hintereinander ausgeführten Drehungen ergebenden Basisvektoren. Das bedeutet aber, dass in der Gesamtdrehmatrix von zwei hintereinanderausgeführten Drehungen in der zweiten Spalte wieder der Vektor [0, cos(alpha), sin(alpha)] stehen muss, weil die Y'-Achse ja gleich der Y' '-Achse sein muss, wenn man um Y' dreht. Das ist aber nicht der Fall, wenn man nur mit den Grund-Drehmatrizen arbeitet, wie im Artikel und hier oben in der Diskussion angegeben. Bitte erst nachrechnen, dann antworten. Die Argumentation "aus Sicht des zweiten KOOS ist diese Drehmatrix richtig" stimmt ja schon, aber dann darf man nicht vergessen, dass zwischen die Drehmatrizen noch eine Basiswechselmatrix gehört, die diese Sicht der Dinge erst herstellt. Wenn man alles so hintereinandermultipliziert, dann sind da keine Basiswechsel dabei, ergo findet alles im ursprünglichen, unverdrehten KOOS statt. Dann darf sich die Drehachse aber in der Gesamtdrehmatrix nicht verändern.

Wenn man zuerst mit A dreht, dann mit B, dann ist das die Matrix BA. Wenn man zuerst mit A dreht, und dann um das Bild der Drehachse von B unter A, dann ist letztere Abbildung die Drehung .

(Kleine Motivation dieser Aussage: Liegt x auf der Drehachse von B, d.h. Bx = x, so liegt Ax auf der mit A verdrehten Drehachse, d.h. . Setzt man ein, reduziert sich diese Gleichung zu ABx = Ax, was offensichtlich richtig ist, wenn Bx = x gilt.)

Wenn man jetzt also zuerst um A und dann um die mit A gedrehte Drehachse von B dreht, dann ist das .

Die Reihenfolge macht also gerade den Unterschied aus, ob man die Achsen festlässt oder mitdreht. (Bei drei Faktoren ist es genau dasselbe.)--Gunther 10:58, 1. Mär 2006 (CET)

Jetzt habe ich es alles nachvollzogen. Es ist auch klargeworden, dass gerade die basistransformierte Drehmatrix ist. Vielleicht kann man diese Zusammenhänge noch im Artikel zusammenfassen? Wäre sicherlich hilfreich für die weitere Herleitung "anderer" Eulerwinkel-Kombinationen. Wenns keiner machen will, mach ich es auch. (MisterNull)

[Bearbeiten] Geschwindigkeit und Beschleunigung

Ich fänd es noch viel interesanter die Winkelgeschwindigkeit und Beschleunigung in Eulerwinkeln auszudrücken

[Bearbeiten] zu mathematischen Eigenschaften

Der Satz "Im Falle einer Singularität ist der Drehvektor der ersten Drehung gleich dem Drehvektor der zweiten Drehung." müsste meiner Ansicht nach "Im Falle einer Singularität ist der Drehvektor der ersten Drehung gleich dem Drehvektor der dritten Drehung." lauten