Enveloppe (Mathematik)

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In der Mathematik bezeichnet Enveloppe (nach franz. enveloppe, Umhüllung, auch Hüllkurve oder Einhüllende) eine Kurve, die eine Kurvenschar einhüllt. Das heißt, die Enveloppe berührt jede Scharkurve einmal.

Inhaltsverzeichnis

1 Beispiel
2 Definition
3 Berechnung von Hüllfunktionen
4 Hüllkurven-Bestimmung durch Grenzwertbetrachtung
5 Anwendung
6 Siehe auch

[Bearbeiten] Beispiel

Hüllkurven entstehen unter anderem bei bewegten Objekten, z. B. beim Öffnen und Schließen eines Garagentores.

Vergleiche hierzu: [1] oder als Kaustik in einer Kaffeetasse.

[Bearbeiten] Definition

Eine Kurve H ist Enveloppe einer Kurvenschar K_t, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

Mindestens eine Kurve von K_t berührt H an einer Stelle x_h.
Die Kurve H berührt jedes Element der Kurvenschar K_t an einer Stelle x_h.
Zwei infinitesimal benachbarte Elemente von K_t müssen an einer Stelle x_h einen gemeinsamen Punkt P haben. P ist ein Punkt der Enveloppe H.

Die ersten beiden Bedingungen sind zusammen hinreichend, da durch die Bedingung (2) auch sichergestellt ist, dass benachbarte Elemente der Kurvenschar auch gemeinsame Punkte haben. Die Bedingung (3) ist auch alleine hinreichend.

[Bearbeiten] Berechnung von Hüllfunktionen

Wir benutzen die 1. und die 2. Bedingung der Definition:

Man leitet die Funktion f(x,t) nach t ab und bestimmt die Nullstellen t₀ in Abhängigkeit von x dieser Ableitung.
In f(x,t) setzt man t₀ für t ein und erhält einen Kandidaten h(x) für die Hüllfunktion.
Man ermittelt alle x_h, für die H ein Element von K_t berührt.
Man weist nach, dass alle Elemente von K_t die Kurve H an mindestens einer Stelle berühren.

[Bearbeiten] Hüllkurven-Bestimmung durch Grenzwertbetrachtung

Wir benutzen die 3. Bedingung der Definition. Zwei infinitesimal benachbarte Elemente der Kurvenschar $K t$ müssen an der Stelle $x h$ einen gemeinsamen Punkt $P$ haben. Dieser Punkt $P$ ist ein Punkt der Hüllkurve $H$ . Um zwei infinitesimal benachbarte Kurven zu erhalten, wählen wir zwei beliebige Kurven und lassen den Scharparameter $t 1$ der einen Kurve gegen den Scharparameter $t 2$ der anderen laufen. Für $\Delta t\rightarrow 0$ nähert sich ihr Schnittpunkt P an den Punkt $P$ der gesuchten Hüllkurve $H$ an.

Aufstellen der Gleichung $f (x, t 1) = f (x, t 2)$ und nach $x$ auflösen.
Den Limes $x h$ von $x$ für $t_{1}\rightarrow t_{2}$ berechnen.
$x h$ in $f (x, t)$ einsetzen, um $y h$ zu erhalten, $P (x h, y h)$ ist ein Punkt der Hüllkurve $H$ , seine Koordinaten $x h$ und $y h$ hängen formal von $t 2$ ab. Diese Beziehungen gelten für alle Punkte $P$ von $H$ , wir haben also die Funktion der Hüllkurve in Parameterdarstellung.
Durch Eliminieren von $t 2$ von der Parameterdarstellung in eine Funktion der Form $h (x) = y$ umformen.

[Bearbeiten] Anwendung

Hüllkurven eignen sich gut, um den benötigten Platz für bewegte Gegenstände zu beschreiben. Man kann also mit Hüllkurven feststellen, ob man einen Schrank um eine Ecke im Flur bekommt (Vergleiche hierzu: http://jan.orend.lg-bs.de/~jan.orend/Presentation/html/slide_15.html), oder wie schmal eine Straße in einer Kurve sein darf, und wie diese aussehen muss, damit ein LKW sicher auf ihr fahren kann. Für die meisten technischen Anwendungen eignen sich numerische Verfahren am besten.