Embree-Trefethen-Konstante
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Die Embree-Trefethen-Konstante ist ein Grenzwert in der Zahlentheorie und wird mit β* bezeichnet.
Für ein festes reelles β betrachte man die Rekursion
- xn+1=xn±βxn-1
wobei das Vorzeichen in der Summe unabhängig voneinander für jedes n mit gleicher Wahrscheinlichkeit als '+' oder '-' gewählt wird.
Für β = 1 erhält man die zufällige Fibonacci-Folge.
Es kann gezeigt werden, dass für beliebiges β der Grenzwert
fast sicher existiert. Mit anderen Worten: Die Folge verhält sich exponentiell mit Wahrscheinlichkeit 1 — und σ(β) ist ihr Wachstumsexponent.
Wir haben
- σ < 1 für 0 < β < β* = 0.70258 ungefähr,
also fällt die Folge der xn exponentiell für n→∞ mit Wahrscheinlichkeit 1, und
- σ > 1 für β > β*
also wachsen die Folgenglieder exponentiell.
Spezielle Werte von σ sind:
- σ(1)=1.13198824... (Viswanath-Konstante) und
- σ(β*)=1 .
siehe auch: Mathematische Konstante
[Bearbeiten] Literatur
- Embree, M., & L.N. Trefethen (1999): Growth and decay of random Fibonacci sequences. Proceedings of the Royal Society London A 455(July):2471-2485
