Derivation (Mathematik)
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In verschiedenen Teilgebieten der Mathematik bezeichnet man Abbildungen als Derivationen, wenn sie die Leibnizregel erfüllen.
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[Bearbeiten] Derivationen einer Algebra
[Bearbeiten] Definition
Es sei R ein unitärer Grundring, beispielsweise ein Körper wie oder . Weiter sei A eine R-Algebra. Eine (R-lineare) Derivation von A ist eine R-lineare Abbildung , die
- D(a1a2) = D(a1)a2 + a1D(a2) für alle
erfüllt.
[Bearbeiten] Eigenschaften
- Ist A eine unitäre Algebra, so gilt D(r) = 0 für alle .
- Der Kern einer Derivation ist eine Unteralgebra.
- Die Menge der Derivationen bildet mit dem Kommutator eine Liealgebra: Sind D1 und D2 Derivationen, so auch
[Bearbeiten] Beispiele
- Eine der Umformulierungen der Jacobi-Identität für Liealgebren besagt, dass die adjungierte Darstellung durch Derivationen operiert:
-
- [X,[A,B]] = [[X,A],B] + [A,[X,B]].
[Bearbeiten] Derivationen in der kommutativen Algebra
Es gelten die üblichen Annahmen der kommutativen Algebra.
[Bearbeiten] Definition
Es seien R ein Ring, A eine R-Algebra und M ein A-Modul. Eine R-lineare Abbildung heißt (R-lineare) Derivation (von A mit Werten in M), wenn
- D(a1a2) = a2D(a1) + a1D(a2) für alle
gilt.
[Bearbeiten] Eigenschaften
- Ist D eine R-lineare Derivation einer R-Algebra A, so gilt D(r) = 0 für alle .
- D(an) = nan − 1D(a) für nichtnegative ganze Zahlen n.
[Bearbeiten] Derivationen und Kähler-Differentiale
Per definitionem werden R-lineare Derivationen einer Algebra A durch den Modul ΩA / R der Kähler-Differentiale klassifiziert, d.h. es gibt eine natürliche Bijektion zwischen den R-linearen Derivationen von A mit Werten in einem A-Modul M und den A-linearen Abbildungen . Jede Derivation entsteht als Verkettung der universellen Derivation mit einer A-linearen Abbildung .
[Bearbeiten] Antiderivationen
Ist A eine - oder -graduierte R-Algebra, so heißt eine R-lineare graduierte Abbildung eine Antiderivation, wenn
für alle homogenen Elemente gilt; dabei bezeichnet | a1 | den Grad von a1.
[Bearbeiten] Beispiele
- Die äußere Ableitung von Differentialformen ist eine Antiderivation: