De-Rham-Kohomologie
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Die de-Rham-Kohomologie ist eine Kohomologietheorie für differenzierbare Mannigfaltigkeiten.
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[Bearbeiten] Definition
Die k-te de-Rham-Kohomologiegruppe einer Mannigfaltigkeit X ist definiert als die k-te Kohomologie des de-Rham-Komplexes:
Dabei ist Ωp(X) der Raum der (globalen) p-Formen auf X, die Abbildungen sind durch die äußere Ableitung gegeben.
Insbesondere gilt für
[Bearbeiten] Satz von de Rham
Er besagt, dass die de-Rham-Kohomologie für kompakte orientierbare Mannigfaltigkeiten natürlich isomorph zur singulären Kohomologie mit Koeffizienten in den reellen Zahlen ist:
[Bearbeiten] Geschichte
In seiner Pariser Dissertation (1931) bewies Georges de Rham mit seinem Satz eine Vermutung von Cartan, die ihrerseits auf Überlegungen von Poincaré zurückging. Da die Kohomologie eines topologischen Raumes erst einige Jahre später thematisiert wurde, arbeitete er tatsächlich mit der Homologie und dem (aufgrund des Satzes von Stokes) dualen Komplex der n-Ketten.
[Bearbeiten] Anmerkungen
Mathematical Subject Classification (2000) 58A12
[Bearbeiten] Literatur
- Bott, Raoul; Tu, Loring W.: Differential forms in algebraic topology. – Berlin, 1982 (Graduate Texts in Mathematics; 82) ISBN 0-387-90613-4
- Jänich, Klaus: Vektoranalysis. – Berlin, 52005. ISBN 3-540-23741-0
- Rham, Georges de: Sur l'analysis situs des variétés à n dimensions. J. Math. Pures Appl. (9) 10, 115–200 (1931)
- Weil, André: Sur les théorèmes de de Rham. Comment. Math. Helv., 26, 119–145 (1952); Œuvres II, 17–43