Cardanische Formeln

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Die Cardanischen Formeln sind Formeln zur Lösung reduzierter kubischer Gleichungen (Gleichungen 3. Grades). Sie wurden, zusammen mit Lösungsformeln für biquadratische Gleichungen (Gleichungen 4. Grades), erstmals 1545 von dem Mathematiker Gerolamo Cardano in seinem Buch Ars magna veröffentlicht. Entdeckt wurde die Lösungsformel für kubische Gleichungen von Tartaglia; laut Cardano sogar noch früher durch Scipione del Ferro.

Die Cardanischen Formeln waren eine wichtige Motivation für die Einführung der komplexen Zahlen, da man im Fall des casus irreducibilis durch das Ziehen einer Quadratwurzel aus einer negativen Zahl zu reellen Lösungen gelangen kann.

Die Cardanischen Formeln besitzen bei der numerischen Lösung von Gleichungen heute keine praktische Bedeutung mehr. Der Nachweis, dass es keine entsprechenden Formeln für Gleichungen fünften und höheren Grades geben kann, hat allerdings die Entwicklung der Algebra entscheidend befruchtet (siehe Galoistheorie).

[Bearbeiten] Gleichungen dritten Grades

Zusammenhang zwischen Vorzeichen der Diskriminante und der Anzahl der Nullstellen

Die allgemeine Gleichung dritten Grades

$a \cdot x^3+b \cdot x^2+c \cdot x+d=0$

mit reellen Zahlen $a, b, c, d$ und $a\ne0$ kann durch Division mit $a$ und Substitution mit $u=x+\frac b{3a}$ in die Form

$u^3+p \cdot u+q=0$

gebracht werden, wobei

$p=\frac {3ac-b^2}{3a^2}$ und

$q=\frac {2b^3}{27a^3} - \frac {bc}{3a^2} + \frac {d}{a}$ gilt.

Im folgenden sind die Lösungsformeln für $u$ angegeben, die entsprechenden Werte für $x$ ergeben sich durch die Rücksubstitution

$x=u-\frac b{3a}.$

Es sei $D=4 \cdot p^3+27 \cdot q^2$ die Diskriminante.

Das Lösungsverhalten hängt nun entscheidend vom Vorzeichen der Diskriminante ab:

$D > 0$ : Es gibt genau eine reelle Lösung und zwei echt komplexe Lösungen (B).
$D = 0$ : Es gibt entweder eine doppelte reelle Lösung und eine einfache reelle Lösung (C) oder eine dreifache reelle Lösung (A).
$D < 0$ : Es gibt drei verschiedene reelle Lösungen (D).

[Bearbeiten] D > 0

Es gibt genau eine reelle Lösung, die durch

$u_1=\sqrt[3]{-\frac q2+\sqrt{\Big(\frac q2\Big)^2+\Big(\frac p3\Big)^3}}+\sqrt[3]{-\frac q2-\sqrt{\Big(\frac q2\Big)^2+\Big(\frac p3\Big)^3}}$

gegeben ist. (Ist dabei eine dritte Wurzel aus einer negativen Zahl zu ziehen, so ist die negative und nicht eine der beiden echt komplexen Wurzeln zu wählen, d.h. $\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}$ .)

Die anderen beiden, echt komplexen Lösungen sind im Fall $q\ne0$ die Lösungen der quadratischen Gleichung

$u^2+u_1u-\frac q{u_1}=0;$

im Spezialfall $q = 0$ sind die anderen beiden Lösungen

$u_{2/3}=\pm\mathrm i\sqrt p.$

Alternativ kann man die komplexen Lösungen auch direkt angeben: Es sei

$\omega=\frac{-1+\mathrm i\sqrt3}2$

eine dritte Einheitswurzel. Dann sind die Lösungen:

$u_2=\omega\sqrt[3]{-\frac q2+\sqrt{\Big(\frac q2\Big)^2+\Big(\frac p3\Big)^3}}+\bar\omega\sqrt[3]{-\frac q2-\sqrt{\Big(\frac q2\Big)^2+\Big(\frac p3\Big)^3}}$

$u_3=\bar\omega\sqrt[3]{-\frac q2+\sqrt{\Big(\frac q2\Big)^2+\Big(\frac p3\Big)^3}}+\omega\sqrt[3]{-\frac q2-\sqrt{\Big(\frac q2\Big)^2+\Big(\frac p3\Big)^3}}$

[Bearbeiten] D = 0

In diesem Fall gibt es eine doppelte reelle Lösung

$u_{1/2}=-\frac{3q}{2p}=\sqrt[3]{\frac q2}$

und eine einfache Lösung

$u_3=\frac{3q}p=\sqrt[3]{-4q}$ .

Ist $p = q = 0$ , so ist $u = 0$ die einzige (dreifache) Lösung.

[Bearbeiten] D < 0 (casus irreducibilis)

Es gibt drei verschiedene reelle Lösungen, bei ihrer Bestimmung mit der obigen Formel müssen jedoch dritte Wurzeln aus echt komplexen Zahlen berechnet werden. Deshalb wird dieser Fall casus irreducibilis genannt.

Mithilfe der trigonometrischen Funktionen können die Wurzeln jedoch berechnet werden:

Unter Verwendung der Additionstheoreme lässt sich allgemein beweisen, dass

$\cos^3\alpha=\frac{\cos 3\alpha+3\cos\alpha}{4}\qquad\qquad(1)$

für jedes $α$ .

Schreibt man

$0=u^3+p\cdot u+q$

mit Hilfe des Ansatzes $u=r\cdot\cos\alpha$ um, ergibt sich

$0=r^3\cdot\cos^3\alpha+p\cdot r\cdot\cos\alpha+q$

Setzt man hierin $(1)\,$ ein, entsteht

$0=r^3\cdot\frac{\cos 3\alpha+3\cos\alpha}{4}+p\cdot r\cdot\cos\alpha+q$

$0=\frac{r^3}{4}\cos 3\alpha+\left(\frac{3}{4}r^2+p\right)\cdot r\cdot\cos\alpha+q$

Wählt man nun $r=\sqrt{-\frac{4}{3} p}$ , verschwindet der Klammerausdruck, und es bleibt

$0=\sqrt{-\frac{4}{27}p^3}\cdot\cos 3\alpha+q$

Und somit

$\cos 3\alpha=-\frac{q}{2}\cdot\sqrt{-\frac{27}{p^3}}$

$\alpha=\frac{1}{3}\arccos\left(-\frac{q}{2}\cdot\sqrt{-\frac{27}{p^3}}\right)+\frac{2}{3}k \pi$

mit ganzen Zahlen $k$

Einsetzen in $u=r\cdot\cos\alpha$ liefert mit $k=-1,0,1\,$ die folgenden drei Lösungen:

$u_2 = -\,\sqrt{-\frac{4}{3}p}\cdot \cos\left(\frac{1}{3}\arccos\left(-\frac{q}{2}\cdot\sqrt{-\frac{27}{p^3}}\right) + \frac{\pi}{3}\right)$

$u_1 = \,\sqrt{-\frac{4}{3}p}\cdot \cos\left(\frac{1}{3}\arccos\left(-\frac{q}{2}\cdot\sqrt{-\frac{27}{p^3}}\right)\right)$

$u_3 = -\,\sqrt{-\frac{4}{3}p}\cdot \cos\left(\frac{1}{3}\arccos\left(-\frac{q}{2}\cdot\sqrt{-\frac{27}{p^3}}\right) - \frac{\pi}{3}\right)$

[Bearbeiten] Komplexe Koeffizienten

Das Vorgehen ist für komplexe Koeffizienten weitgehend analog, es gibt aber nur zwei Fälle:

$D\ne0$ : Die oben für den Fall $D > 0$ angegebenen Formeln gelten analog; die beiden dritten Wurzeln sind dabei so zu wählen, dass ihr Produkt $- p / 3$ ergibt.
$D = 0$ : Die oben für den Fall $D = 0$ angegebenen Formeln gelten unverändert.

[Bearbeiten] Weblinks

Formeln von Cardano zur Lösung der Gleichung dritten Grades

[Bearbeiten] Literatur

Jörg Bewersdorff: Algebra für Einsteiger: Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie, Wiesbaden 2004, ISBN 3528131926, Einführung
Heinrich Dörrie: Kubische und biquadratische Gleichungen, München 1948
Ludwig Matthiessen: Grundzüge der antiken und modernen Algebra der litteralen Gleichungen, Leipzig 1896, Dokumenten-Server
Peter Pesic: Abels Beweis, Springer 2005, ISBN-10 3-540-22285-5. Die Geschichte rund um die Lösungsformeln vom Grad 2 bis 4 und der komplette Beweis von Abel.