Abelsche Identität
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Die abelsche Identität ist ein Ausdruck für die Wronski-Determinante zweier linear unabhängiger homogener Lösungen einer linearen, gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung. Die Beziehung wurde 1827 von dem norwegischen Mathematiker Niels Henrik Abel hergeleitet.
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[Bearbeiten] Definition
Gegeben sei die lineare, gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung
- .
Für die Wronski-Determinante von zwei Lösungen der Differentialgleichung gilt dann:
- .
[Bearbeiten] Anwendung
Die abelsche Identität erlaubt es, die Wronski-Determinate bei bekanntem Wert an der Stelle x0 für alle anderen x zu berechnen. Insbesondere ist die Wronski-Determinate konstant wenn P(x) = 0 gilt. Aufgrund der Beziehung, die die Wronski-Determinate zwischen zwei linear unabhängigen Lösungen herstellt, erlaubt sie u.U., die eine aus der anderen zu berechnen.
[Bearbeiten] Literatur
- W. Boyce und R. Di Prima: Elementary differential equations and boundary value problems. Wiley, New York, 1969
- Eric W. Weisstein. Abel's Differential Equation Identity. From MathWorld-A Wolfram Web Resource. (siehe Weblinks)