Abc-Vermutung

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Die abc-Vermutung ist eine von Joseph Oesterlé and David Masser aufgestellte mathematische Vermutung aus den 1980er Jahren. Sie besagt, dass für jedes $\varepsilon >0$ eine Konstante $C$ existiert, sodass für drei teilerfremde Zahlen $a,b,c \in \mathbb{Z}$ mit der Beziehung $a + b = c$ folgende Ungleichung erfüllt wird:

$\max (\left| a \right|, \left| b \right|, \left| c \right|) \leq C\mathrm{\varepsilon} \prod_{p|a b c} p^{1+\varepsilon}$

Dabei erfordert $p | a b c$ , dass das Produkt über der Primzahl $p$ sich durch das Produkt $a b c$ teilen lässt. Die aufgestellte Vermutung gehört zu wichtigsten ungelösten Problemen über Diophantische Gleichungen.^[1]

Alternativ lässt sich die abc-Vermutung auch folgendermaßen definieren.

Es seien $a, b, c$ drei teilerfremde ganze Zahlen mit folgenden Eigenschaften:

a + b = c

dann wird

rad(a b c)

als quadratfrei der paarweise verschiedenen Primzahlen bezeichnet. Während $rad(a b c)$ sicher kleiner $c$ ist, gilt für den Bruch

rad(a b c) / c

dass man ihn beliebig klein bei vorsichtiger Wahl von $a, b$ Dazu ein Beispiel: Wenn $a = 5$ und $b = 27 = 3 3$ dann ist $c = a + b = 32 = 2 5$ . In diesem Fall ist $rad(a b c) = 30$ kleiner als $c$ . Die abc-Vermutung behauptet, dass für jedes $\varepsilon >0$ der Bruch

$\mathrm{rad} (abc)^{1+\varepsilon} /c$

eine kleine Konstante $C$ als Schranke für alle $a, b$ und $c = a + b$ besitzt.

Formeller ausgedrückt bedeutet es, dass für jedes ε > 0, eine endliche Konstante C_ε exisiert, so dass alle teilerfremden ganzen Zahlen a+b=c die Ungleichung

$c < C_\varepsilon \operatorname{rad}(abc)^{1+\varepsilon}$

gilt.

[Bearbeiten] Folgerungen aus der abc-Vermutung

Die Vermutung konnte bisher zwar nicht bewiesen werden, zieht allerdings eine Menge interessanter Konsequenzen nach sich. Insbesondere der sehr komplexe und komplizierte Beweis des Großen fermatschen Satzes würde sich auf eine Seite reduzieren.

Theorem von Roth von Klaus Friedrich Roth bewiesen
Großer fermatscher Satz, von Andrew Wiles bewiesen
Faltings Theorem, von Gerd Faltings bewiesen
Erdős–Woods Vermutung
die Existenz von endlich vielen Wieferich-Primzahlen
die schwache Form der Marshall Hall Vermutung
die Mengen von aufeinanderfolgenden Zahlentripeln der Starken Zahlen ist endlich
die Dirichlet L-Funktion hat keine Siegel-Null

[Bearbeiten] Spezielle Form der abc-Vermutung

Eine etwas speziellere Formulierung der Vermutung postulierte Alan Baker 1996, indem er $rad(a b c)$ durch

$\varepsilon^{-\omega} \mathrm{rad}(abc)$

ersetzte, wobei ω die totale Zahl der paarweise teilerfremden Zahlen a,b und c ist. Eine verwandte Vermutung von Andrew Granaville setzt fest, dass die rechte Seite des Terms auch durch

O (rad(a b c)Θ(rad(a b c)))

ersetzt werden kann, wobei Θ(n) die Anzahl der ganzzahligen Zahlen bis n ist, die nur durch Primzahlen teilbar sind, die n teilen.

[Bearbeiten] Teilergebnisse

Da bisher ein Beweis für die abc-Vermutung aussteht wurden Berechnungen angestellt, um die Vermutung bis zu einem gewissen Zahlenraum nachzuprüfen. Beispielsweise sind:

$\mathrm{rad}(2^2\cdot3^4) = 2\cdot3 = 6,\qquad \mathrm{rad}(2\cdot3\cdot5^2)=2\cdot3\cdot5=30.$

Drei positive ganze Zahlen a,b,c heißen abc-Tripel wenn a,b teilerfremd zueinander sind und a+b=c gilt. Jedesmal wenn rad(abc) berechnet wird, wird nachgeprüft, ob rad(abc)<C gilt. Wenn die Ungleichung erfüllt wird, bezeichnen wir das als abc-Treffer. Unter allen 15 · 10^6 abc-Tripeln befinden sich 120 abc-Treffer mit C<10.000. Unter allen 380 · 10^6 abc-Tripel befinden sich 276 abc-Treffer mit C<50.000.

Dazu wurden im Laufe der Jahre folgende Berechnungen angestellt:

1986, C.L. Stewart and R. Tijdeman:

$c < \exp{(C_1 \operatorname{rad}(abc)^{15}) },$

1991, C.L. Stewart and Kunrui Yu:

$c < \exp{ (C_2 \operatorname{rad}(abc)^{2/3+\epsilon}) },$

1996, C.L. Stewart and Kunrui Yu:

$c < \exp{ (C_3 \operatorname{rad}(abc)^{1/3+\epsilon}) },$

wobei C₁ eine festgelegte Konstate ist und C₂ sowie C₃ postive leicht berechenbare Konstanten in Abhängigkeit von ε.

[Bearbeiten] Siehe auch

Größter gemeinsamer Teiler (ggT)

[Bearbeiten] Literatur

Masser, D. W. On abc and Discriminants. Proc. Amer. Math. Soc. Seite 130, 3141-3150, 2002.
Stewart, C. L. and Tijdeman, R. On the Oesterlé-Masser Conjecture. Mh. Math. Seite 102, 251-257, 1986.