Determinante (matemáticas)

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Para otros usos del término, véase Determinante.

Tabla de contenidos

1 Definición
2 Dos ejemplos
3 Fórmula general
4 Métodos de cálculo
5 Propiedades
6 Interés

[editar] Definición

Se puede hablar del determinante de una matriz cuadrada, de una aplicación lineal (endomorfismo en dimensión finita) o de n vectores de un espacio de dimensión n. Todos estos dominios están relacionados. Lo lógico es empezar por la teoría, hablando de función sobre los vectores, y seguir por la práctica, el cálculo efectivo de determinantes.

Sea K un cuerpo (por ejemplo K = R o K = C ) y E un espacio vectorial sobre K, de dimensión finita n.
Una forma de Eⁿ es una aplicación lineal de Eⁿ hacia K. Como E es isomorfo a Kⁿ, esta aplicación se puede escribir así:

E × E × ... E → K

(v_₁, v_₂,... v_{_n}) → f(v_₁, v_₂, ... v_{_n})

Una aplicación de Eⁿ es n-lineal si es lineal con relación a todos sus argumentos, es decir, si se hace variar un solo argumento, fijando los demás, la función varía de forma lineal.
Por ejemplo, la linealidad para con el vector número i se expresa mediante esta fórmula:

f(v_₁, ... λ·u_{_i} + μ·w_{_i} , ... v_{_n}) = λ·f(v_₁, ... u_{_i}, ... v_{_n}) + μ·f(v_₁, ... w_{_i} , ... v_{_n}).

Una aplicación de Eⁿ es alterna si es nula cada vez que hay dos argumentos iguales.
Por ejemplo, si con n = 3; f(u, v, u) = 0 porque el primer y el tercer vector son iguales.

Sea (e_₁, e_₂ ... e_{_n}) la base canónica de E ≈ Kⁿ.

Aquí hemos la definición exacta del determinante:

El determinante de E ( relativo a la base (e_₁, e_₂ ... e_{_n}) ) es la única forma n-lineal de Eⁿ, alterna, y que toma el valor 1 en la base, es decir tal que f(e_₁, e_₂ ... e_{_n}) = 1.

[editar] Dos ejemplos

El caso n = 1 carece totalmente de interés, veamos los casos n = 2 y luego n = 3.

Una observación preliminar: una aplicación alterna es también antisimétrica.
En efecto, con n = 2 por ejemplo:

f( v + w, v + w) = o por ser f alterna, luego si se desarrolla el miembro izquierdo, se obtiene:

f( v + w, v + w) = f(u, u) + f(u, v) + f(v, u) + f(v, v) = 0 + f(u, v) + f(v, u) + 0.

Igualando los dos resultados se concluye que f(v, u) = - f(u, v), lo que es la antisimetría.

En la base (e_₁, e_₂) de E, sea u = a·e_₁ + b·e_₂ y v = c·e_₁ + d·e_₂ dos vectores cualesquiera. De aquí en adelante, se notará det el determinante.

det(u, v) = det(a·e_₁ + b·e_₂, c·e_₁ + d·e_₂) = c·det(a·e_₁ + b·e_₂, e_₁) + d·det(a·e_₁ + b·e_₂, e_₂)

linealidad a la derecha es decir con relación al segundo argumento

= c·a·det(e_₁, e_₁) + c·b·det(e_₂, e_₁) + d·a·det(e_₁, e_₂) + d·b·det(e_₂, e_₂)

linealidad a la izquierda

= c·a·0 + c·b·(-1) + d·a·1 + d·b·0 = ad - bc

la forma alterna anula det(e_₁ , e_₁) y det(e_₂ , e_₂), y la antisimetría hace que det(e_₂ , e_₁) = - det(e_₁ , e_₂) = -1

por definición, det(e_₁ , e_₂) = 1

Si se disponen los vectores en columna, se constituye una matriz cuyo determinante se calcula por la regla de los productos cruzados:

Se procede de la misma manera en el caso n = 3; sin embargo, para eludir cálculos más largos, es preferible reflexionar antes de echarse a llenar hojas.
Se toma tres vectores, u, v y w, y se les descomponen en la base (e_₁, e_₂, e_₃).
Al desarrollar el determinante, se tendrá que descartar todos los casos en que aparezcan varias veces el mismo vector. Quedarán pues sólo términos donde aparecen una vez los tres vectores de las base, mas en un orden cualquiera. Se dice que hay una permutación de e_₁, e_₂ y e_₃.
Por ejemplo: det(e_₃,e_₁,e_₂) = - det(e_₁,e_₃,e_₂) = det(e_₁,e_₂,e_₃) = 1, aplicando la antisimetría dos veces.
Al pasar del primer miembro al último, se ha multiplicado dos veces por -1, o sea una vez por (-1)².
Este último factor es la signatura (o firma) de la permutación que envía (e_₁, e_₂,e_₃) en (e_₃, e_₁, e_₂).
El conjunto de las permutaciones (de tres elementos) se llama el grupo simétrico (de orden 3), S₃. S₃ tiene tres permutaciones pares, es decir de signatura 1, y tres impares, de signatura -1. Se nota ε(σ) o sgn(σ) la signatura de la permutación σ (sgn como signature ,firma en francés, o signo).
Con todos estos datos, se puede hallar el determinante de orden 3: El método de Sarrus consiste en escribir los tres vectores en columna y repetir las dos primeras líneas por debajo de la matriz; las permutaciones pares corresponden a las diagonales descendientes mientras que las impares corresponden a las ascendientes. Sobre cada diagonal se multiplican los números, y se suman o restan los productos.

[editar] Fórmula general

El raciocinio detallado del caso n = 3 permite la generalización. Sea un valor cualquiera de n, y los vectores:
v_₁ = a_{_1,1}e_₁ + a_{_2,1}e_₂ + ... + a_{_n,1}e_{_n},
v_₂ = a_{_1,2}e_₁ + a_{_2,2}e_₂ + ... + a_{_n,2}e_{_n},

y así sucesivamente hasta :

v_{_n} = a_{_1,n}e_₁ + a_{_2,n}e_₂ + ... + a_{_{n, n}}e_{_n}.
Y sea A la matriz cuyas columnas son los vectores v_₁, ... v_{_n}. A = (a_{_{i, j}})_{1≤i, j≤n}.

$\det(A) = \det(v_1,\cdots,v_n) = \sum_{\sigma \in S_n} \left ( sgn ( \sigma ) \prod^n_{i=1} a_{i,\sigma(i)} \right )$

Esta definición de determinante fue propuesta por Leibniz. Excepto en casos sencillos, esta fórmula no resulta muy práctica a causa del número excesivo de permutaciones. Afortunadamente, existe una manera de desarrollar el determinante según una columna o una línea:

$\det(A) = \sum^n_{i=1} a_{i,j} \cdot c_{i,j} = \sum^n_{j=1} a_{i,j} \cdot c_{i,j}$

Es la fórmula de Laplace.

[editar] Métodos de cálculo

[editar] Determinantes de orden 1

Una matriz de orden 1 no es más que un número. Por ejemplo, la matriz (4) es una matriz de orden 1, pues tiene 1 fila y 1 columna. Así, las matrices de orden uno son de la forma $(a 1,1)$ . El determianate de dicha matriz es $d e t (a 1,1) = a 1,1$ . Así, por ejemplo, det(4)=4.

Observación: En el caso de matrices de orden uno no se suele escribir el determinante entre barras, para no confundirlo con el valor absoluto del número.

[editar] Determinantes de orden 2

Como se ha dicho antes, un determiante de orden dos se calcula de la siguiente manera:

[editar] Determinantes de orden 3

Un determinante de orden 3 se calcula mediante la regla de Sarrus:

[editar] Determinantes de orden superior a 3

Suele desarrollarse el determinante por una fila o columna, eliminando así filas y columnas hasta obtener un determinante de orden 3.

[editar] Propiedades

La propiedad algébraica fundamental del determinante es la sjj

det(AB) = det(A)·det(B)

en términos de aplicaciones lineales, se escribe así:

det(uºv) = det(u)·det(v)

[editar] Interés

Una aplicación lineal entre espacios vectoriales es invertible si y sólo si su determinante no es nulo. Por lo tanto, una matriz con coeficientes en un cuerpo es invertible si y sólo si su determinante es no nulo.

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