Хипоциклоида
от Уикипедия, свободната енциклопедия
В геометрията, хипоциклоида е равнинна крива, която се дефинира като геометричното място на фиксирана точка от окръжност, която се търкаля по вътрешната страна на друга окръжност, наречена направляваща, с радиус по-голям от радиуса на първата.
Съдържание |
[редактиране] Уравнениe
Нека търкалящата се окръжност има радиус r, а направляващата окръжност - R. Тогава параметричните уравнения на кривата се задават с:
- ,
където θ е ъгълът образуван от абсцисната ос и правата минаваща през центровете на двете окръжности.
Нека представим R във вида R = kr. Тогава:
- ако k е цяло число, то кривата е затворена и има k на брой рогови точки.
- ако k е рационално число, представимо във вида , p и q взаимно прости , то кривата е затворена и има p на брой рогови точки.
- ако k е ирационално число, кривата никога не се затваря и с графиката си изпълва равнинна пръстеновидна фигура с външен радиус R и вътрешен R - r.
Примери за хипоциклоди | |||
Хипоциклоидата е частен случай на хипотрохоида, при която фиксираната точка принадлежи на окръжността. Хипоциклоидата с четири рогови точки е известна като астроида.
[редактиране] История
Наименованието идва от гръцки, съставено е от "", "под" и "", "кръгообразен". Първата циклоида е разгледана от Албрехт Дюрер в "Underweysung der Messung mit dem Zirkel und Rychtscheyd" ("Наставление за измерването с пергел и линийка", 1525). Филип де Лаир извършва първото систематично изследване на хипоциклоидите и епициклоидите, като намира квадратурите им, извършва ректификации и построения на допирателните. По-късно с тези криви се занимават и Ойлер, Сере, Монж и др.
[редактиране] Вижте също
- Епициклоида
- Трохоида
- Хипотрохоида
- Циклоида
[редактиране] Използвани източници
- "The Penguin Dictionary of Mathematics", John Daintith, R.D. Nelson, Penguin Books, 1989
- "Лексикон Математика", Георги Симитчиев, Георги Чобанов, Иван Чобанов, ИК Абагар, София, 1995, ISBN: 954-584-146-Х
- "Математически енциклопедичен речник", В. Гелерт, Х. Кестнер, З. Нойбер, ДИ Наука и изкуство, София, 1983