Konvolusie

vanuit Wikipedia, die vrye ensiklopedie.

Hierdie artikel behandel die wiskundige konsep van konvolusie. Sien konvolusie vir die gebruik in rekenaarwetenskap.

In wiskunde, en funksionele analise spesifiek, is konvolusie 'n wiskundige bewerking wat twee funksies f en g neem en 'n derde funksie h skep. Hierdie kombinasie stel, in 'n sekere sin, die hoeveelheid oorvleueling voor wat tussen f en 'n omgekeerde weergawe van g bestaan. 'n Konvolusie is 'n soort algemene bewegende gemiddelde, soos wat gesien word wanneer een funksie as 'n aanduidingsfunksie oor 'n interval geneem word.

[wysig] Gebruike

Konvolusie en verwante bewerkings word in baie toepassings van ingenieurswese en wiskunde gevind:

In statistiek, soos bo genoem, as 'n geweegde bewegende gemiddelde.
In statistiek is die waarskynlikheidsverspreiding van die som van twee toevalsveranderlikes gelyk aan die konvolusie van die twee verspreidings.
In optika word baie soorte verdowwing deur konvolusie beskryf. 'n Skaduwee (soos wat byvoorbeeld gevorm word deur jou hand wanneer dit tussen 'n ligbron en 'n tafel gehou word) is die konvolusie van die vorm van die ligbron en die voorwerp wat die skaduwee gooi. 'n Foto wat swak gefokus is, is die konvolusie van die skerp beeld met die verdowwingsirkel wat deur die irisdiafragma veroorsaak word.
In akoestiek is 'n eggo die konvolusie van die oorspronklike klank met 'n funksie wat die verskeie voorwerpe voorstel wat hierdie klank weerkaats.
In elektriese ingenieurswese en ander disiplines is die uittree (respons) van 'n lineêre (d.w.s., stasionêre of tyd-/ruimte-invariante) stelsel die konvolusie van die intree (of opwekking) van 'n stelsel se optrede met 'n impuls of Dirac delta-funksie as intree. Sien LTI-stelselteorie.
In fisika verskyn daar altyd konvolusie wanneer 'n lineêre stelsel met 'n superposisie-eienskap ter sprake is.

[wysig] Definisie

Die konvolusie van f en g word geskryf f * g. Dit word gedefinieer as die integraal van die produk van twee funksies nadat een omgekeer en geskuif is.

$(f * g )(t) = \int f(\tau) g(t - \tau)\, d\tau$

Die integrasiegrense hang af van die domein waaroor die funksies gedefinieer is. In die geval van eindige integrasiegrense word daar algemeen geneem dat f en g periodies uitgebrei is in beide rigtings, sodat die term g(t − τ) nie 'n grensoortreding impliseer nie. Die gebruik van periodiese domeins word soms sikliese, sirkelvormige of periodiese konvolusie genoem. Natuurlik is dit ook moontlik om die funksies uit te brei deur dit bloot nul te maak. Die gebruik van nul-uitgebreide of oneindige domeins word soms lineêre konvolusie genoem, veral in die diskrete geval hieronder.

As $X$ en $Y$ twee onafhanklike toevalsveranderlikes met waarskynlikheidsdigthede f en g respektiewelik is, dan word die waarskynlikheidsdigtheid van die som $X + Y$ gegee deur die konvolusie $f * g$ .

Vir diskrete funksies kan 'n diskrete weergawe van konvolusie gebruik word, wat gedefinieer is deur

$(f * g)(m) = \sum_n {f(n) g(m - n)} \,$

Wanneer twee polinome vermenigvuldig word, word die koëffisiënte van die produk gelewer deur die konvolusie van die oorspronklike koëffisiëntreekse in hierdie diskrete sin (asook deur nul-uitbreiding te gebruik, soos hierbo genoem).

Deur die boonste twee gevalle te veralgemeen kan konvolusie gedefinieer word vir enige twee integreerbare funksies wat op 'n plaaslike kompakte topologiese groep gedefinieer is. 'n Ander veralgemening is die konvolusie van verspreidings.

[wysig] Eienskappe

Die verskeie konvolusie-operators besit almal die volgende eienskappe:

[wysig] Kommutatief

$f * g = g * f \,$

[wysig] Assosiatief

$f * (g * h) = (f * g) * h \,$

[wysig] Distributief

$f * (g + h) = (f * g) + (f * h) \,$

[wysig] Assosiatiwiteit met skalaarvermenigvuldiging

$a (f * g) = (a f) * g = f * (a g) \,$

vir enige reëele of komplekse getal $a$ .

Differensiasiereël:

$\mathcal{D}(f * g) = \mathcal{D}f * g = f * \mathcal{D}g \,$

waar Df die afgeleide van f aandui, of, in die diskrete sin, die verskiloperator

Df(n) = f(n+1) - f(n).

[wysig] Konvolusiestelling

$\mathcal{F}(f * g) = \sqrt{2\pi} (\mathcal{F} f) \cdot (\mathcal{F} g)$

waar $\mathcal{F} f$ die Fourier-transform van f aandui. Weergawes van hierdie stelling geld ook vir die Laplace-transform, dubbelsydige Laplace-transform en Melling-transform.

[wysig] Konvolusie van groepe

Indien G 'n geskikte groep is wat 'n mate m het (byvoorbeeld, 'n plaaslike kompakte Hausdorff topologiese groep met die Haar-mate), en as f en g reëele of komplekse m-integreerbare funksies van G is, kan ons hul konvolusie definieer as

$(f * g)(x) = \int_G f(y)g(xy^{-1})\,dm(y) \,$

In hierdie geval is dit ook moontlik om, byvoorbeeld, 'n Konvolusiestelling te gee, maar dit is baie moeiliker om te fraseer en verg voorstellingsteorie vir hierdie tipes groepe en die Peter-Weyl-stelling van harmoniese analise. Dit is baie moeilik om hierdie berekenings sonder meer struktuur te doen, en Lie-groepe is die raamwerk waarin hierdie berekenings gedoen word.