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$\in \mathbb{R}_+$ Density function: $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = \mathbb{P}(a<x<b),\ \forall a < b$

Kernel Density estimator : $\hat{f}(x) = \frac{1}{nh}\sum_{i=1}^{n}K\left(\frac{x-X_i}{h}\right)$ Variable Kernel Density estimator : $\hat{f}(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{h_i}K\left(\frac{x-X_i}{h_i}\right)$

NormalKerdnfunktion : $k(x)=(2\pi)^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{x^2}{2}}$ Uniform : $k(x)=\frac{1}{2}\mathbf{1}_{\left\{|x|<1\right\}}$ Triangular : $k(x)= (1-|x|)\mathbf{1}_ {\left\{|x|<1\right\}}$

Epannecknikov $k(x)=2^3\mathbf{B}(2,2)^{-1}(1-x^2)\mathbf{1}_{\left\{|x|<1\right\}} =\frac{3}{4}(1-x^2)\mathbf{1}_{\left\{|x|<1\right\}}$

Biweight: $k(x)=2^5\mathbf{B}(3,3)^{-1}(1-x^2)^2\mathbf{1}_{\left\{|x|<1\right\}} =\frac{15}{16}(1-x^2)^2\mathbf{1}_{\left\{|x|<1\right\}}$

Triwegiht: $k(x)=2^7\mathbf{B}(4,4)^{-1}(1-x^2)^3\mathbf{1}_{\left\{|x|<1\right\}} =\frac{35}{32}(1-x^2)^3\mathbf{1}_{\left\{|x|<1\right\}}$

MISE: $\mathbf{MISE}(\hat{f}) = \mathbb{E}\int \{ \hat{f}(x)-f(x)\}^2\mathrm{d}x = \int \{\mathbb{E}\hat{f}(x)-f(x)\}^2\mathrm{d}x + \int \mathbf{var} \hat{f}(x)\mathrm{d}x$

da : $\mathbb{E}\hat{f}(x)-f(x) = \frac{1}{2}h^2\mu_2(K)f^{\prime\prime}(x)+o(h^2)$ und $\mathbf{var}\hat{f}(x) = \frac{1}{nh}R(K)f(x)+o(\frac{1}{nh})$

wobei: $\mu_2(g)=\int t^2 g(t)dt$ und $R(g)=\int g(t)^2dt$ sind. $\mathbf{MISE}(\hat{f}) \approx \frac{1}{4}h^4\mu_2^2(K)R(f^{\prime\prime})+\frac{1}{nh}R(K)$

$\mbox{minimiere }\mathbf{MISE}(\hat{f}) \Longrightarrow h_{opt} = \left[ \frac{R(K)}{\mu_2^2(K)R(f^{\prime\prime})n} \right]^{\frac{1}{5}}$

conditional density estimator:

$\hat{f}(y\,|x) = \frac{\sum_{i=1}^n K\left(\frac{\|x-X_i\|_x}{a}\right)K\left(\frac{\|y-Y_i\|_y}{b}\right)}{b\sum_{j=1}^n K\left(\frac{\|x-X_j\|_x}{a}\right)}$

wobei: $\int K(x)\mathrm{d}x=1 \ ,\ \int xK(x)\mathrm{d}x=0\ ,\ \mu_2(K)=\int x^2K(x)\mathrm{d}x<\infty$

Refenrence Rule:

$\mathbf{MISE}(\hat{f}) = \mathbb{E}\iint\{\hat{f}(y|x)-f(y|x)\}^2h(x)\mathrm{d}x\mathrm{d}y \approx \frac{c_1}{nab}-\frac{c_2}{na} + c_3a^4+c_4b^4+c_5a^2b^2$ , wobei

$c_1=\int R^2(K)\mathrm{d}x$ , $c_2=\iint R(K)f(y|x)\mathrm{d}y\mathrm{d}x$ , $c_3=\iint \frac{\mu_4(K)h(x)}{4}\left\{2\frac{h^\prime(x)}{h(x)}\frac{\partial f(y|x)}{\partial x}+\frac{\partial^2 f(y|x)}{\partial x^2}\right\}^2\mathrm{d}y\mathrm{d}x$ ,

$c_4=\iint \frac{\mu_4(K)h(x)}{4}\left\{\frac{\partial^2 f(y|x)}{\partial y^2}\right\}^2\mathrm{d}y\mathrm{d}x$ ,

$c_5=\iint \frac{\mu_4(K)h(x)}{2}\left\{2\frac{h^\prime(x)}{h(x)}\frac{\partial f(y|x)}{\partial x}+\frac{\partial^2 f(y|x)}{\partial x^2}\right\}\left\{\frac{\partial^2 f(y|x)}{\partial y^2}\right\}\mathrm{d}y\mathrm{d}x$ ,

Normal Refenrence Rule:

$a_N = \left\{\frac{16kR^2(K)p^5(288\pi^9\sigma_h^{58}\lambda^2(k))^{1/8}}{n\sigma_K^4d^{5/2}\nu^{3/4}(k)[\nu^{1/2}(k)+d(18\pi\sigma_h^{10}\lambda^2(k))^{1/4}]}\right\}^{1/6}$ , und

$b_N = \left\{\frac{d^2\nu(k)}{3\sqrt{2\pi}\sigma_h^5\lambda(k)}\right\}^{1/4}a_N$ ,

wobei $\lambda(k)=\int_{-k}^{k}\phi(t)dt\ , \ \nu(k)=\sqrt{2\pi}\sigma_h^3(3d^2\sigma_h^2+8p^2)\lambda(k)-16k\sigma_h^2p^2e^{-k^2/2}$

Bivariate density estimator: $\hat{f}(x)=\frac{1}{nh^2}\sum_{i=1}^{n}K\big(\frac{x-X_i}{h}\big)$ , wobei $\iint K(x)\mathrm{d}x=1$

polynomial Kernel: $\hat{f}(x)=\frac{1}{nh}\left[\mbox{Anzahl der }X_i \mbox{ in dem Block, der }x \mbox{ enthaelt.}\right]$

Bashtannyk-Hydermann-Regression method: $\mbox{minimiere }Q_b(a)=\frac{\Delta}{n}\sum_{k=1}^N\sum_{i=1}^n\left(\nu_i(y'_k)-\sum_{j=1}^n w_j(x_i)\nu_j(y'_k)\right)^2 p(w_i(X_i))$

wobei: $Y'=\{y'_1,\cdots ,y'_N\}$ eine Folge, die den Raum von Y mit gleicher Distanz $Δ$ , einteilen kann, und $\nu_i(y)=\frac{1}{b}K\left(\frac{|Y_i-y|}{b}\right)\ , \ w_j(x)=\frac{K\left(\frac{\|x-X_j\|}{a}\right)}{\sum_{i=1}^n K\left(\frac{\|x-X_i\|}{a}\right)}$ .

Bashtannyk-Hydermann_Bootstrap methode: $\mbox{minimiere }M(a,b;m,y',\tilde{f})= \frac{1}{m}\sum_{l=1}^n\left\{\frac{\Delta}{n}\sum_{j=1}^N\sum_{i=1}^n\left[\hat{f}(y'_j|X_i)-\tilde{f}(y'_j|X_i)\right]^2\right\}$

Hier: $\tilde{f}(y|x)$ ist ein parametrischer Schätzer aus der linearen Modell $Y_i=\sum_{j=1}^n\beta_j X_i^j+\sigma\epsilon_i$ , und der Vektor $Y^{(l)}=\{Y^{(l)}_i,\cdots,Y^{(l)}_n\}$ ist durch Bootstrapping basierend Stichproben X simuliert.

ASH: $\hat{f}(x)=\frac{\sum_{i=1-m}^{m-1}K(i/m)\nu_{k+i}}{n\delta\sum_{j=1-m}^{m-1}K(j/m)}, \ x\in B_k$

$l(\cdot):\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^+$ $\hat{f}(y|x)=l(\hat{\theta}_0)$ , $\hat{\theta}_{xy}=(\hat{\theta}_0,\hat{\theta}_1,\cdots,\hat{\theta}_r)^T$ , $R (θ; x, y)$

HDR: $R(f_{\alpha}):=\{x: f(x)\ge f_{\alpha}\}$ und $\mathbb{P}\left(X \in R(f_{\alpha})\right)\ge 1-\alpha$

$f_{\alpha}\ \in \ 100(1-\alpha)%$

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