純態

维基百科，自由的百科全书

純態這個名詞出現在幾個領域，包括物理方面的量子力學以及數學方面的泛函分析理論。

[编辑] 量子力學

在量子力學當中，純態由一個相同統計系綜(ensemble)所構成，而相對於純態的混態(mixed state)則可以分解兩個以上的系綜。在量子力學中有諸多表示型(formalism)，一個量子態可由密度矩陣或稱密度算符表示，區分純態和混態的方法即可由此得之。純態S可用狄拉克符号的右括向量表示：

$S = | \Psi \rangle$ ，

或寫成密度矩陣表示型則為：

$S = \rho = | \Psi \rangle \langle \Psi |$ ；

而混態的密度矩陣則為

$S = \rho = \Sigma_i c_i | \Psi_i \rangle \langle \Psi_i |, \Sigma _i c_i = 1$ 。

就某種意義上來說，純態也可以說成是混態中的一項特例。只要將上式 $c_i \,$ 其中一項設為1， $c_i \,$ 其他項皆為0，則純態式子就可從混態式子中迸現出來。

[编辑] 區分純態與混態

區分純態與混態的方法要利用到 $tr(\rho) \,$ 。 $tr(\rho) \,$ 表示對矩陣 $\rho \,$ 取對角線元素和(trace)，將純態和混態做歸一化動作，使得 $tr(\rho) \,$ 之值皆會是1。

而兩者不同處在於 $tr(\rho^2) \,$ ：歸一化過的純態 $tr(\rho^2)=tr(\rho)=1 \,$ ，而歸一化過的混態則 $tr(\rho^2)<1 \,$ ，和 $tr(\rho)=1 \,$ 不同，由此得以辨別出純態與混態。

[编辑] 舉例

$\rho_1 = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ 為純態， $\rho_2 = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ 為混態

$\Rightarrow tr(\rho_1)=tr(\rho_2) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

$\rho_1^2 = \rho_1 * \rho_1 = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ ； $\rho_2^2 = \rho_2 * \rho_2 = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} \end{pmatrix}$ 。

$\Rightarrow tr(\rho_1^2)=tr(\rho_1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ ； $tr(\rho_2^2) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \ne tr(\rho_2) = 1$

量子脫散現象的過程中，與環境的交互作用會讓密度矩陣的非對角線元素(off-diagonal elements)隨時間衰減到0。也就是說在這個例子，隨著時間 $t \,$ 逐漸增加， 原本純態 $\rho_1 = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} e^{-\frac{t}{T_2}} \\ \frac{1}{2} e^{-\frac{t}{T_2}} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \Rightarrow \rho_1(t=0) = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

$\begin{matrix} {}^{t \rightarrow \infty} \\ \to \\ {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{matrix}\quad \,$ 混態 $\rho_2 = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ 。