Öklid

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Bu ansiklopedi maddesinin biçim olarak Vikipedi standartlarına ulaşması için elden geçirilmesi gerekmektedir.
Bu madde Kasım 2006 tarihinden beri etiketli olarak durmaktadır.Düzenleme yapıldıktan sonra bu not silinmelidir.

Öklid (Euclid, Eukleides, Yunanca: Ευκλείδης) M.Ö. 330 - 275, İskenderiyeli matematikçi.

Konu başlıkları

1 Özet
2 Öğeler
- 2.1 Aksiyomlar
- 2.2 Postülalar
3 Dış Bağlantılar

[değiştir] Özet

Öklid gelmiş geçmiş matematikçilerin içinde adı geometri ile en çok özdeştirilen kişidir. Geometri dünyasında kapladığı bu seçkin yeri kendisinin büyük bir matematikçi olmasından çok, geometrinin başlangıcından kendi zamanına kadar bilinen ismi ile Öğeler adını taşıyan kitabında toplamıştır. Öklid derlemesinin tutarlı bir bütün olmasını sağlamak için, kanıt gerektirmeyen apaçık gerçekler olarak 5 aksiyom ortaya koyar. Diğer bütün önermeleri bu aksiyomlardan çıkarır.

Öklid geometrisi 19. yüzyılın başına kadar rakipsiz kaldı. Hatta 20. yüzyılın ortalarına kadar bile orta öğretimde geometri, Öklid'in öğelerine bağlı olarak okutuldu.

Öklid'in yaşamı konusunda hemen hiçbir şey bilinmiyor. Önceleri bir Yunan kenti olan Megara'da doğduğu sanıldıysa da, sonradan Megaralı Öklid'in, Öğeler'in yazarı İskenderiyeli Öklid'den yüzyıl kadar yaşamış olan bir felsefeci olduğu ortaya çıkmıştır.

[değiştir] Öğeler

Eukleides'in Elementler'i (stoichia, Yunanca: Στοιχεία), 13 kitap'tan oluşuyordu ve sırasıyla şu konuları içeriyordu:

I. Kitap: Benzerlik (üçgenlerin benzerliği, pergel ve cetvelle çizilen basit geometrik şekiller, bir üçgenin açılarına ve kenarlarına ilişkin eşitsizlikler), paraleller (paralel doğruların özellikleri ve paralelkenarlar), Pythagoras teoremi.
II. Kitap: Geometrik cebir(a+b)² = a² + 2ab + b² gibi bugün cebirsel olarak ele alınan, ama o zamanlar geometrik olarak düşünülen özdeşlikler, alanlar.
III. Kitap: Daire ve açı ölçümleri.
IV. Kitap: Daire içine ve dışına çokgenlerin çizimi.
V. Kitap: Geometrik olarak incelenen orantı (şeylerin büyüklükleri ve miktarları arasındaki ilişki), kesirli cebirsel denklemlerin geometrik çözümü.
VI. Kitap: Çokgenlerin benzerliği.
VII. ve IX. Kitaplar: Aritmetik (sayılar teorisi geometrik olarak incelenmiştir).
X. Kitap : Orantısızlık.
XI., XII. ve XIII. Kitaplar: Uzay geometrisi (üç boyutlu cisimler, örneğin beş düzgün yüzlü cisimin özellikleri incelenmiştir).

Elementler'e sonradan iki kitap daha eklenmiştir ve bunları Eukleides'in yazmadığı tahmin edilmektedir.

XIV. Kitap'ta bir küre içine çizilen düzgün üç boyutluların mukayesesi yapılmıştır ve bu kitabın Hypsicles (M.Ö. 2. yüzyılın ikinci yarısı) tarafından Apollonius'dan etkilenerek yazıldığı sanılmaktadır.
XV. Kitap'ta ise düzgün üç boyutluların birbiri içine nasıl çizileceği ve açı ve kenar hesaplarının nasıl yapılacağı incelenmiştir. Bu kitabın Miletli Isidore (532) tarafından yazıldığı düşünülmektedir.

İskenderiye'de yazılmış olan Elementler'in içeriğinden çok, kapsamış olduğu konuların sunuluş biçimi önemlidir; önce bir takım tanımlar, aksiyomlar ve postülalar verilmiş ve teoremler, bunlara dayanarak kanıtlanmıştır. Böylece geometri, belirli tanım ve ilkeler çerçevesinde yapılandırılmış olmaktadır.

Elementler'de nokta, çizgi, yüzey ve cisim gibi geometrik kavramlar tanımlandıktan sonra, aksiyomlara geçilmiştir. Aksiyom, doğruluğu açık ve seçik olan önerme demektir. Eukleides'in aksiyomları şunlardır:

[değiştir] Aksiyomlar

Aynı sayıya eşit olan sayılar birbirlerine de eşittirler.
Eşit miktarlara eşit miktarlar eklenirse, eşitlik bozulmaz.
Eşit miktarlardan eşit miktarlar çıkartılırsa, eşitlik bozulmaz.
Birbirine çakışan şeyler birbirine eşittir.
Bütün parçadan büyüktür.

Aksiyomlardan sonra da postülalar verilmiştir. Postüla, ispat edilmeksizin doğru olarak benimsenen önerme demektir. Eukleides'in postülaları ise şunlardır:

[değiştir] Postülalar

İki nokta arasını birleştiren en kısa yol bir doğrudur.
Bir doğru, doğru olarak sonsuza kadar uzatılabilir.
Bir noktaya eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri bir çemberdir.
Bütün dik açılar birbirine eşittir.
İki doğru bir üçüncü doğru tarafından kesilirse, içte meydana gelen açıların toplamının 180 dereceden küçük olduğu yönde bu iki doğru kesişir.

Bu önermelerden, uzayla ilgili olduğu halde, Eukleides'in açıkça belirtmediği üç önerme daha çıkarılabilir:

Uzay üç boyutludur.
Uzay sonsuzdur.
Uzay homojendir.

Uzun süre postüla olarak adlandırılan önermelerin yapıları tam olarak anlaşılamamış ve Eukleides'in paraleller postülası adıyla tanınan beşinci postülası matematikçiler tarafından sanki bir teoremmiş gibi kanıtlanmaya çalışılmıştır. Bazı matematikçiler ise, bu postülayı daha kullanışlı başka bir postüla ile değiştirmek istemişlerdir. Paraleller postülası yerine konulan en tanınmış postülalar şunlardır:

Bir üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir.
Bir doğruya dışındaki bir noktadan yalnızca bir tek paralel çizilebilir.

Eukleides beşinci postülanın gerekli olduğunu görmüş ve sezgisel olarak en yalın biçimini seçmişti; bu da onun dehasının göstergelerinden yalnızca bir tanesidir.

19. yüzyılda paraleller postülası değiştirilerek Eukleides dışı geometriler kuruldu. Nicolai Lobatchevski (1792-1856), "Bir doğruya, dışındaki bir noktadan pek çok paralel çizilebilir veya bir üçgenin iç açıları toplamı 180 dereceden küçüktür." önermelerini ve Bernhard Riemann (1826-1866) ise "Bir doğruya dışındaki bir noktadan paralel çizilemez veya bir üçgenin iç açıları toplamı 180 dereceden büyüktür." önermelerini, beşinci postülanın yerine geçirerek, Eukleides dışı geometrilere ulaştılar. Felix Klein (1847-1925) bu geometrilerin birbirleriyle olan ilişkilerini gösterdi. Ona göre, Eukleides geometrisi sıfır eğrilikli bir yüzeye işaret eder ve pozitif eğrilikli bir yüzey (örneğin küre-dışı) üzerindeki Riemann geometrisi ile negatif eğrilikli bir yüzey (örneğin küre-içi) üzerindeki Lobatchevski geometrisi arasında yer alır; yani, parabolik geometri olan Eukleides geometrisi, elliptik geometri (Riemann) ile hiperbolik geometrinin (Lobatchevski) limitidir.

Birden fazla geometrinin ortaya çıkması, akla bunlardan hangisinin doğru olduğu sorusunu getirebilir. Böyle bir soru anlamsızdır; çünkü teoremlerin doğruluğu, dayandıkları postülalara bağlıdır. Hangi geometri incelediğimiz konuya uygunsa, o geometriyi kullanırız. Şu halde, "Hangi geometri doğrudur?" sorusu yerine, "Hangi geometri yararlıdır?" sorusunun sorulması daha yerinde olacaktır. Üzerinde yaşadığımız Dünya'da, yani orta ölçekli boyutlarda Eukleides geometrisi geçerlidir, ama Einstein, görelilik kuramını oluştururken, doğal olarak Riemann geometrisini kullanmıştır.