Eulers formel
Wikipedia
- Se Eulers formel (geometri) för det resultat gällande konvexa polyedrar som även kallas "Eulers formel"
Eulers formel inom komplex analys, uppkallad efter Leonhard Euler, säger att den komplexa exponentialfunktionen uppfyller
- eiθ = cosθ + isinθ.
Den kopplar samman exponentialfunktionen och de trigonometriska funktionerna.
[redigera] Konsekvenser
En enkel konsekvens av den är eiπ + 1 = 0, en formel som förbluffat matematikstudenter genom tiderna. Formeln relaterar tre tal från helt olika delar av matematiken; talet e från analysen, talet π från geometrin, den komplexa enheten/talet i och talet 1 från aritmetiken. Formeln kopplar som synes samman flera delar av matematiken.
Formeln kan härledas ur Taylorutvecklingen av ez genom att sätta in iθ. Kan även härledas genom att betrakta den komplexa funktionen z = cosx + isinx.
Det finns även en omvänd variant som kallas Eulers formler, vilka istället uttrycker de trigonometriska funktionerna sinus och cosinus med hjälp av exponentialfunktionen:
[redigera] Bevis utan Taylorutveckling
Låt z vara den komplexa funktionen z = cosx + isinx.
Då gäller att 
.
Eftersom det då gäller att dz / dx = iz så gäller att 
.
Då får man med hjälp av integrering att lnz + C1 = ix + C2.
Alltså att z = eix + C där C = C2 - C1.
Eftersom det nu visats att cos(x) + isinx = eix + C så måste de vara lika för alla x.
Då det gäller att z(0) = 1 (eftersom cos0 + isin0 = 1) så måste eC = 1.
Således C = 0.
Alltså gäller att eix = cosx + isinx.
