Лапласова трансформација

Из пројекта Википедија

Лапласова трансформација (названа по Пјер-Симон Лапласу) је интегрална трансформација, која дату каузалну функцију f(t) (оригинал) пресликава из временског домена (t = време) у функцију F(s) у комплексном спектралном домену (слика).

Садржај

1 Појам оригинала
2 Дефиниција Лапласове трансформације
3 Инверзна Лапласова трансформација
4 Примена
5 Спољашње везе

[уреди] Појам оригинала

Функција t->f(t) назива се оригиналом ако испуњава следеће услове:

1. f је интеграбилна на сваком коначном интервалу t осе

2. за свако t<0, f(t)=0

3. постоје M и s₀, тако да је f(t)| \le M e^{s_0t}" />

[уреди] Дефиниција Лапласове трансформације

$F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\} =\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt. \qquad ( s = \sigma + \mathrm{i} \omega; \quad \sigma > 0;\quad t \ge 0 )$

Функција F(s) је »слика« или лапласова трансформација »оригинала« f(t).

За случај да је $s = i ω$ добија се једнострана Фуријеова трансформација:

$F(\omega) = \mathcal{F}\left\{f(t)\right\}$

_{s = i \omega} = F(s)|_{s = i \omega}" />

$= \int_{0}^{\infty} e^{-\imath \omega t} f(t)\,\mathrm{d}t.$

[уреди] Инверзна Лапласова трансформација

У општем случају, оригинал f(t) дате слике F(s) добија се решавањем Бромвичовог интеграла:

$f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{F(s)\right\} = \frac{1}{2 \pi \imath} \int_{ \gamma - \imath \infty}^{ \gamma + \imath \infty} e^{st} F(s)\,ds \qquad ( \gamma \in \mathbb{R}, \gamma>\max_i\Re(Res_i))$

[уреди] Примена

У математици Лапласова трансформација се користи за анализирање линеарних, временски непроменљивих система, као: електричних кола, хармонијских осцилатора, оптичких уређаја и механичких система. Има примене у решавању диференцијалних једначина и теорији вероватноће.