Уравнение Фоккера — Планка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Уравнение Фоккера — Планка названо в честь Адриана Фоккера и Макса Планка, также известно как прямое уравнение Колмогорова, описывает временную эволюцию функции плотности вероятности координат и импульса частиц, и может быть обобщено на другие измеримые параметры (размер (в теории коалесценции), масса и т.д).

Впервые уравнение было использовано для статистического описания Броуновского движения частиц в воде.

Броуновское движение описывается уравнениями Ланжевена, которые могут быть решены для разных сил стохастической природы с усреднением по каноническому ансамблю численным методом Монте-Карло или методами молекулярной динамики.

Однако, вместо сложных вычислений можно использовать уравнения Фоккера — Планка и и рассмотреть функцию плотности вероятности $W(\mathbf{v}, t)$ , для частицы иметь скорость в интервале $(\mathbf{v}, \mathbf{v} + d\mathbf{v})$ , когда она имеет начальную скорость $\mathbf{v}_0$ в момент времени 0.

Общая форма уравнения Фоккера — Планка для N переменных:

$\frac{\partial W}{\partial t} = \left[-\sum_{i=1}^{N} \frac{\partial}{\partial x_i} D_i^1(x_1, \ldots, x_N) + \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} \frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j} D_{ij}^2(x_1, \ldots, x_N) \right] W,$

где $D 1$ вектор сноса и $D 2$ тензор диффузии, причем диффузия вызвана действием сил стохастической природы.

Содержание

1 Связь со стохастическими дифференциальными уравнениями
- 1.1 Примеры
2 Внешние ссылки
3 Источники

[править] Связь со стохастическими дифференциальными уравнениями

Уравнение Фоккера — Планка может быть использовано для расчета плотности вероятности в стохастических дифференциальных уравнениях. Рассмотрим следующее Itō стохастическое дифференциальное уравнение

$d\mathbf{X}_t = \boldsymbol{\mu}(\mathbf{X}_t,t) dt + \boldsymbol{\sigma}(\mathbf{X}_t,t) d\mathbf{B}_t,$

где $\mathbf{X}_t \in \mathbb{R}^N$ функция состояния системы и $\mathbf{B}_t \in \mathbb{R}^M$ — стандартное N-мерное Броуновское движение. Если начальное распределение задано как $\mathbf{X}_0 \sim W(\mathbf{x},0)$ , то плотность вероятности $W(\mathbf{x},t)$ состояния системы $\mathbf{X}_t$ дается уравнением Фоккера — Планка со следуюшими выражениями для сноса и диффузии соответственно:

$D^1_i(\mathbf{x},t) = \mu_i(\mathbf{x},t)$

$D^2_{ij}(\mathbf{x},t) = \frac{1}{2} \sum_k \sigma_{ik}(\mathbf{x},t) \sigma_{jk}(\mathbf{x},t).$

[править] Примеры

Стандартное скалярное уравнение Броуновского движения генерируется следующим стохастическим дифференциальным уравнением

d X t = d B t .

Здесь скорость сноса равна нулю и коэффициент диффузии равен 1/2, следовательно, соответствующее уравнение Фоккера — Планка выглядит так:

$\frac{\partial W(x,t)}{\partial t} = \frac{1}{2} \frac{\partial^2 W(x,t)}{\partial x^2},$

это простейшая форма одномерного уравнения диффузии (теплопереноса).

[править] Внешние ссылки

Fokker-Planck equation on the Earliest known uses of some of the words of mathematics

[править] Источники

en:Fokker-Planck equation
Hannes Risken, «The Fokker-Planck Equation: Methods of Solutions and Applications», 2nd edition, Springer Series in Synergetics, Springer, ISBN 354061530X.
Crispin W. Gardinder, «Handbook of Stochastic Methods», 3rd edition (paperback), Springer, ISBN 3540208828.

Категория: Случайные процессы