Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Теорема Лиувиля о приближении алгебраических чисел — теорема, устанавливающая, что алгебраические иррациональности не могут слишком хорошо приближаться рациональными числами. Именно, если α — алгебраическое число степени n, а p и q — любые целые рациональные числа, то имеет место неравенство
тде C — положительная константа, зависящая только от α и выражаемая в явном виде через сопряженные с α величины.
С помощью этой теоремы Ж. Лиувилль впервые построил примеры трансцендентных чисел. Таким числом является, например, число представляемое рядом с быстро убывающими членами.
[править] Обобщения
При n = 2 теорема Лиувиля дает неулучшаемый результат. Для 
теорема Лиувиля неоднократно усиливалась.
В 1909 А. Туэ(A. Thue) установил, что для алгебраических чисел а степени n и 
справедливо неравенство
К. Зигель(Siegel) улучшил результат А. Туэ, показав, что последнее неравенство выполняется при (s — целое)
в частности при 
. Позже Ф. Дайсон (F. I. Dyson) доказал справедливость этого неравенства при 
. Наконец, К. Рот установил, что неравенство (*) справедливо при любом ν > 2. Результат К. Рота является наилучшим в своем роде, т. к. любое иррациональное число ξ, алгебраическое или нет, имеет бесконечно много рациональных приближений p / q, удовлетворяющих неравенству
Все указанные выше усиления теоремы Лиувиля имеют один существенный недостаток — они неэффективны, а именно: методы их доказательства не позволяют установить, каким образом постоянная C = C(α,ν) в неравенстве зависит от величин α и ν.
