Теорема Леви о непрерывности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Теоре́ма Леви́ в теории вероятностей — результат, увязывающий поточечную сходимость характеристических функций случайных величин со сходимостью этих случайных величин по распределению.

[править] Формулировка

Пусть $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ последовательность случайных величин, не обязательно определённых на одном вероятностном пространстве. Обозначим характеристическую функцию случайной величины $X n$ , где $n \in \mathbb{N}$ , символом $φ n (t)$ . Тогда если $X_n \to X$ по распределению при $n \to \infty$ , и $φ(t)$ — характеристическая функция $X$ , то

$\phi_n(t) \to \phi(t)\; \forall t \in \mathbb{R}$ .

Обратно, если $\phi_n(t) \to \phi(t)\; \forall t \in \mathbb{R}$ , где $\phi \in C(0)$ — функция действительного аргумента непрерывная в нуле, то $φ(t)$ является характеристической функцией некоторой случайной величины $X$ , и

$X_n \to X$ по распределению при $n \to \infty$ .

[править] Замечание

Так как характеристическая функция любой случайной величины непрерывна в нуле, второе утверждение имеет следующее тривиальное следствие. Если $\phi_n(t) \to \phi(t)\; \forall t \in \mathbb{R}$ , где $φ n (t)$ — характеристическая функция $X n$ , и $φ(t)$ — характеристическая функция $X$ , то $X_n \to X$ по распределению при $n \to \infty$ . Использование этого факта при доказательстве сходимости по распределению иногда называют ме́тодом характеристи́ческих фу́нкций. Метод характеристических функций является стандартным способом доказательства классической Центральной предельной теоремы.

[править] См. также

Леви, Поль.

Категория: Теория вероятностей

Теорема Леви о непрерывности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

[править] Формулировка

[править] Замечание

[править] См. также

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках